Aufgabe:
Für die Konferenz der Tiere gibt es einen runden Tisch mit 30 Sitzplätzen, nummeriert mit 1,. . . , 30, so dass auch die Plätze 1 und 30 benachbart sind. Unterschiedliche Tiere aus 3 verschiedenen Gattungen (5 Schildkröten,10 Raben, 15 Katzen) werden rein zufällig platziert.
(i) Wie wahrscheinlich ist es, dass Platz 6 und 7 mit Tieren aus derselben Gattung besetzt werden?
(ii) Was ist die erwartete Anzahl von Paaren benachbarter Plätze, auf denen Tiere aus derselben Gattung sitzen?
(iii) Was ist die erwartete Anzahl von Paaren benachbarter Plätze, auf denen Tiere aus verschiedenen Gattungen sitzen?
Ansatz:
Würde jetzt sagen, dass der ganze Spaß dem Modell "Ziehen ohne Zurücklegen" entspricht, da sobald sich ein Tier platziert, der Stuhl besetzt ist. Es gibt jetzt 3 Szenarien
i) Hier gäbe es 3 Möglichkeiten: Entweder sitzen auf Platz 6 und 7 zwei Schildkröten nebeneinander, oder zwei Raben oder zwei Katzen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schildkröte einen Tisch Nr. 6 belegt wäre \( \frac{5}{30} \) . Die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine 2. Schildkröte direkt daneben platziert wäre dann nur noch \( \frac{4}{29} \). Die Wahrscheinlichkeiten multipliziert, gäbe \( \frac{5}{30} \) * \( \frac{4}{29} \) = 2/87
Analog die Wahrscheinlichkeiten zwei Raben nebeneinander zu platzieren:
\( \frac{10}{30} \) * \( \frac{9}{29} \) = \( \frac{3}{29} \)
und zwei Kätzchen gesellen sich mit Wahrscheinlichkeit:
\( \frac{15}{30} \) * \( \frac{14}{29} \) = \( \frac{7}{29} \) zueinander.
Wahrscheinlichkeiten addieren: \( \frac{2}{87} \) + \( \frac{3}{29} \) + \( \frac{7}{29} \) = \( \frac{948}{2581} \) = 36,73 % ?
ii) Eventuell mit dem Binominalkoeffizienten arbeiten, also n über k. Wobei n = 30 sind und k die jeweilige Anzahl der Viecher, d.h. 30 über 5, 30 über 10, 30 über 15. Die einzelnen Wahrscheinlichkeiten für Nachbarn wären 5 über 2, 10 über 2 und 15 über 2. Und das könnte man durch die Gesamtanzahl teilen. Die Frage ist nur welche.
Die Anzahl für 2 Schildkröten wäre dann (10 über 2)/(30 über 10) = 1,4910^-6. Und das kann nicht sein. :(
iii) Hier diesselbe Frage. bzw. wäre das nicht einfach die Gegenwahrscheinlichkeit zu ii?
Danke und liebe Grüße,
Marceline, The Vampire Queen
