Bildet folgende Teilmenge einen Unterraum von V? U = { f in V | (f( 2 ) )^2 + ( f ( 3 ) )^2 = 0}

Question

V sei der Vektorraum aller Funktionen f : R-> R über den Körper R. Bildet die folgende Teilmenge von V einen Unterraum?

U = { f in V | (f( 2 ) )^2 + ( f ( 3 ) )^2 = 0}

Ansatz/Problem:

Ich weiß, dass ich die beiden Eigenschaften nachweisen muss

i) f, g in V → f+g in U

ii) f in U, a in R → a * f in U

Möchte ich jetzt i) zeigen, dann weiß ich nicht wie ich beginnen soll

Vielleicht so?

f, g in V → f+g in U <=> (f+g(2))^2 + (f+g(3))^2 = 0 ?

Comments

U = { f in V | (f( 2 ) )² + ( f ( 3 ) )² = 0}

Das sind also alles Funktionen, die an den Stellen 2 und 3 eine Nullstelle haben, da du es mit reellen Zahlen zu tun hast.

Wenn du 2 von denen addierst, ergibt sich wieder eine Funktion mit diesen beiden Nullstellen.

Wenn du af(x) rechnest, dann ist af(2) = af(3) = 0. Stimmt auch.

Schreibe deine Äquivalenz lieber mit Klammern.

f, g in V --> f+g in U  <=> ((f+g)(2))² + ((f+g)(3))² = 0 ?

---

Also irgendwie hilft mir dein Kommentar nicht weiter. Geht es denn in die richtige Richtung?

 

Ich habe es jedenfalls mal so probiert und komme darauf das es kein Unterraum ist.

So sieht mein Anfang aus...

 

((f+g)(2))² + ((f+g)(3))² = 0  <==> ((f+g)(2))*((f+g)(2))+((f+g)(3))(f+g)(3)) = 0

<==> ((f(2)+g(2))*((f(2)+g(2)) + ((f(3)+g(3))*(f(3)+g(3)) = 0

<==> 0 + 2*(f(2)*g(2)) + 2 *(f(3)*g(3)) +0 = 0

und das kann ja irgendwie nicht stimmen...

 

Wo liegt mein Fehler?

---

Also irgendwie hilft mir dein Kommentar nicht weiter. Geht es denn in die richtige Richtung?

 

Ich habe es jedenfalls mal so probiert und komme darauf das es kein Unterraum ist.

So sieht mein Anfang aus...

 

((f+g)(2))² + ((f+g)(3))² = 0  <==> ((f+g)(2))*((f+g)(2))+((f+g)(3))(f+g)(3)) = 0

<==> ((f(2)+g(2))*((f(2)+g(2)) + ((f(3)+g(3))*(f(3)+g(3)) = 0

<==> 0 + 2*(f(2)*g(2)) + 2 *(f(3)*g(3)) +0 = 0

und das kann ja irgendwie nicht stimmen...

 

Wo liegt mein Fehler?

---

((f+g)(2))² + ((f+g)(3))² = 0  <==> (f+g)(2) = 0 und (f+g)(3) = 0

<==> f(2) + g(2) = 0 und f(3) + g(3)= 0 Stimmt, da nach Vor. f(2)=g(2)=f(3) = g(3) =0.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Bildet folgende Teilmenge einen Unterraum von V?

Um zu überprüfen, ob eine Teilmenge \(U\) von \(V\), dem Vektorraum aller Funktionen \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) über den Körper \(\mathbb{R}\), einen Unterraum bildet, müssen wir zwei Eigenschaften überprüfen:

i) Abgeschlossenheit gegenüber Vektoraddition

Dies bedeutet, wenn \(f, g \in U\), dann muss auch \(f + g \in U\) sein.

Für \(f, g \in U\) gilt per Definition, dass \( (f(2))^2 + (f(3))^2 = 0 \) und \( (g(2))^2 + (g(3))^2 = 0 \).

Zu zeigen ist: \( ((f+g)(2))^2 + ((f+g)(3))^2 = 0 \).

Berechnen wir:

\( ((f+g)(2))^2 + ((f+g)(3))^2 = (f(2) + g(2))^2 + (f(3) + g(3))^2 \)
\( = (f(2))^2 + 2f(2)g(2) + (g(2))^2 + (f(3))^2 + 2f(3)g(3) + (g(3))^2 \)

Da bekannt ist, dass \( (f(2))^2 + (f(3))^2 = 0 \) und \( (g(2))^2 + (g(3))^2 = 0 \), muss für die Abgeschlossenheit unter Addition folgendes gegeben sein:

\( 2f(2)g(2) + 2f(3)g(3) = 0 \)

Da dies nicht notwendigerweise wahr ist (ohne zusätzliche Bedingungen über die Funktionen \(f\) und \(g\)), kann nicht direkt geschlossen werden, dass \(U\) unter der Vektoraddition abgeschlossen ist. Die kritische Überlegung hier betrifft jedoch die initiale Bedingung \( (f(2))^2 + (f(3))^2 = 0 \) und \( (g(2))^2 + (g(3))^2 = 0 \), die impliziert, dass sowohl \(f(2) = 0\), \(f(3) = 0\) als auch \(g(2) = 0\), \(g(3) = 0\), weshalb tatsächlich \(2f(2)g(2) + 2f(3)g(3) = 0 \) wahr ist und die obige Bedenken nicht stichhaltig sind.

ii) Abgeschlossenheit gegenüber Skalarmultiplikation

Für ein \(f \in U\) und ein Skalar \(a \in \mathbb{R}\) muss gelten, dass \(a \cdot f \in U\).

Für \(f \in U\) gilt \( (f(2))^2 + (f(3))^2 = 0 \).

Zu zeigen ist: \((a \cdot f(2))^2 + (a \cdot f(3))^2 = 0\).

Dies ergibt:

\( (a^2) \cdot ((f(2))^2 + (f(3))^2) = a^2 \cdot 0 = 0 \)

Da \( (f(2))^2 + (f(3))^2 = 0 \) die Bedingung für Funktionen in \(U\) ist, erfüllt ein Vielfaches \(a \cdot f\) auch diese Bedingung, womit \(a \cdot f \in U\).

Zusammenfassung:

Nachdem wir die Abgeschlossenheit sowohl unter der Vektoraddition als auch unter der Skalarmultiplikation geprüft haben, können wir schlussfolgern, dass die Teilmenge \(U\) unter den gegebenen Bedingungen tatsächlich einen Unterraum des Vektorraums \(V\) bildet.