Aloha :)
Wir betrachten \(f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}: (n,m)\to n+m\).
Eine Funktion heißt "injektiv", wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Hier ist \(f(2,1)=3\) und \(f(1,2)=3\). Damit ist die Funktion nicht injektiv.
Eine Funktion heißt "surjektiv", wenn jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Wenn \(0\not\in\mathbb{N}\), ist der kleinstmögliche Funktionswert \(f(1,1)=2\), sodass die \(1\) aus der Zielmenge nie erreicht werden kann. Falls \(0\not\in\mathbb{N}\) ist die Funktion also nicht surjektiv.
Wenn \(0\in\mathbb{N}\), dann können wir einen beliebigen Wert \(n\) aus der Zielmenge \(\mathbb{N}\) wählen. Mit diesem bilden wir das Tupel \((n,0\)) und stellen fest, dass \(f(n,0)=n\). Für jedes \(n\) aus der Zielmenge \(\mathbb{N}\) können wir also ein Tupel \((n,0)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) angeben, das auf \(n\) abbildet. Wenn also \(0\in\mathbb{N}\) gilt, ist die Funktion surjektiv.
Eine Funktion heißt "bijektiv", wenn jedes Element der Zielmenge genau 1-mal erreicht wird, oder anders ausgedrückt, wenn sie injektiv und surjektiv ist. Die Funktion hier ist nicht injektiv und daher auch nicht bijektiv.
