Im ℝ3 seien die Punkte A=(0,9,0), B=(-7,5,-2) gegeben und für jedes a ∈ ℝ \ {0} seien ferner die Punkte Ca=(8,9-2a,1)und Da=(4/a,8,2) gegeben.
1. Berechnen sie alle a, für die A, Ca und Da nicht die Eckpunkte eines Dreiecks sind.
Ein Dreieck liegt vor, wenn die Eckpunkte nicht auf einer Geraden liegen. Wenn also A, C und D auf einer Geraden liegen, gilt z.B.:
\(\overrightarrow{AC}=r\cdot\overrightarrow{AD}\)
\( \begin{pmatrix} 8\\-2a\\1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 4/a\\-1\\2 \end{pmatrix} \)
Aus der 3. Koordinate folgt r=0,5.
Das setze ich in die 2. Koordinate ein und erhalte a=0,25.
Zur Überprüfung beide Werte in die 1. Koordinate einsetzen, ergibt 8=8.
Also a=0,25
2. Offenbar wird für jedes a ∈ ℝ \ {0} durch A, B und Ca ein Dreieck ABCa festgelegt. Untersuchen Sie, ob es ein a gibt, für das das Dreieck ABCa rechtwinklig ist und geben Sie ein solches a im Falle der Existenz an.
Ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn zwei Seiten orthogonal zueinander verlaufen. Das Skalarprodukt der Seitenvektoren ist dann gleich Null.
Nun gibt es drei Möglichkeiten, da der rechte Winkel bei A, B oder C liegen kann.
Die Seitenvektoren:
\(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -7\\-4\\-2 \end{pmatrix} \)
\(\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 8\\-2a\\1 \end{pmatrix} \)
\(\overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 15\\4-2a\\3 \end{pmatrix} \)
Falls der rechte Winkel bei A liegt:
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=-56+8a-2=0\Rightarrow a=\frac{29}{4}=7,25\)
Entsprechend werden die beiden anderen Möglichkeiten gerechnet, wobei eine quadratische Gleichung gelöst werden muss, wenn der rechte Winkel bei C liegt.
