Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Question

Aufgabe:

Ich muss folgenden Satz formalisieren und beweisen.

"Teilt eine natürliche Zahl die beiden Faktoren eines Produkts so teilt sie auch das Produkt"

Das hätte ich So geschrieben.

Es existiert ein x Element aus N , y,z Element aus R: x/y*x/z → x/(y*z)

Problem, Aufgabe:

Gilt auch die Umkehrung, Falls ja wie beweise ich das?

Und gibt es eine entsprechende Regel für Summen bzw. was kann man über die Umkehrung aussagen?

Comments

"y,z Element aus R"

Beschränke dich auf "x,y,z Element aus N".

Weiter: "(x|y und x|z) => ..."

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vielen Dank. eigl. absolut logisch ^^

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Und gibt es eine entsprechende Regel für Summen bzw. was kann man über die Umkehrung aussagen?

Hat jemand dazu noch eine Idee ?.

Answer 1

∀p,q,n ∈ ℕ (n|p ∧ n|q → n|p·q)

Dabei ist x|y eine Abkürzung für ∃z∈ℕ x·z=y.

Beweis. Seien p,q,n ∈ ℕ mit n|p ∧ n|q.

Seien a,b ∈ ℕ mit n·a = p und n·b = q.

Dann ist p·q = (n·a) · (n·b) = n·(a·n·b).

Gilt auch die Umkehrung

p = 1, q = n = 2.

Comments

Danke schön !

Answer 2

Mein Vorschlag:

a,x,y∈ℕ∧a|x∧a|y⇒a|x·y

Die Umkehrung gilt nicht. Beispiel 3|12 aber ¬(3|3∧3|4).