N-te Wurzel aus imaginärer Einheit i

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie n-te √(i) . Wo befinden sich die Lösungen in der komplexen Ebene? Was passiert bei n->∞

Problem/Ansatz:

i an sich ist die komplexe Zahl z=0+i mit dem Betrag 1 und dem Winkel π/2.

Genutzt habe ich die Exponentialform mit z = 1*e^iπ

Da n-te √(i) = i^1/n 

Daraus: _(e^iπ ₎^1/n _{= e}^(iπ/2n)

Wie geht es jetzt weiter? Ich weiß jetzt nicht so wirklich, was ich mit dem Ergebnis anfangen soll...

Mit freundlichen Grüßen

Pascal

Comments

Bestimmen Sie n-te √(i) . Wo befinden sich die Lösungen in der komplexen Ebene? Was passiert bei n->∞

Das musst du erst mal präzisieren. In der Überschrift hast du in Einzahl nach Wurzel gefragt. So eine eindeutige Wurzel ist in C nicht definiert. Vgl. meine Antwort.

Üblicherweise würde die Frage lauten:

Bestimmen Sie alle n-ten Wurzeln von i? Wo befinden sich die Lösungen in der komplexen Ebene? Was passiert bei n->∞.

Mathematisch besser:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge von z^n = i . Wo befinden sich die Lösungen in der komplexen Ebene? Was passiert bei n->∞

Das hat der Mathecoach so umformuliert und beantwortet.

Answer 1

Sprechen wir lieber von der Gleichung

z^n = i

Alle Lösungen dieser Gleichung liegen um den Koordinatenursprung der komplexen Zahlenebene mit dem Radius 1.

Hier ein Beispiel für

z^10 = i

oder  für

z^100 = i

Comments

Aber den maximalen Winkel, den ich rausbekommen kann, ist doch nach z =  e^(iπ/2n) genau π/2 und für n->∞ nähert man sich genau z=1 an. Also wäre meine graphische Lösung nur im ersten Quadranten.

Was mache ich falsch?

MFG Pascal

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i = e^((pi/2+ k·2·pi)·i)

i^(1/n) = e^((pi/(2·n)+ k/n·2·pi)·i )

Der größte Winkel unter 2·pi ist daher

(pi/(2·n)+ (n - 1)/n·2·pi = 2·pi - 3/(2·n)·pi

Der größte Winkel für n gegen unendlich nähert sich also dem Vollwinkel von 2·pi an.

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Aber für n aus den natürlichen Zahlen hat die Gleichung z^n = i i nur Lösungen im 1. Quadranten!

Würde mir heute von meinem Tutor bestätigt

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Wie du Wolframalpha entnehmen kannst hat z^n = i nicht nur Lösungen im ersten Quadranten. Vielleicht ist nur nach den Lösungen im ersten Quadranten gefragt. Das mag sein. Auf jedenfall wird dein Tutor nicht unrecht haben. Er spricht dann nur von etwas anderem als ich.

Er sprach ja auch nicht von allen Lösungen von z^n = i Sondern eigentlich von den Lösungen der n-ten Wurzel aus i und das wäre wenn man es dann definiert auch nur eine Lösung. Weil die Wurzel eine Funktion ist und daher nicht mehr als einen Funktionswert haben kann.

Man könnte jetzt die n-te Wurzel so definieren als die komplexe Zahl mit dem kleinsten positiven Winkel.

Dann würden die Ergebnisse in der Tat alle im 1. Quadranten liegen.

Answer 2

:_{ (e}^{iπ }_{)}^{1/n }_{= e}^{(}^{iπ/2n)}

Die 2 ist dort vergessen worden.

Du meinst

:_{ (e}^{iπ/2 }_{)}^{1/n }_{= e}^{(}^{iπ/(2n))}

Das ist eine der n-ten Wurzeln von i. Nämlich diejenige mit dem kleinsten positiven Argument.

Wie lautet die Fragestellung ganz genau?

Bestimmen Sie eine n-te √(i) .

Bestimmen Sie allen n-ten √(i) .

Oder noch anders? 

Theorie z.B. hier https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzel_(Mathematik)#Wurzeln_aus_komplexen_Zahlen

Comments

Wo befinden sich die Lösungen in der komplexen Ebene?

Gemeint sind wohl alle Lösungen der Gleichung  zⁿ = i

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Ok. Das hat Der_Mathecoach inzwischen erledigt und mein Link dürfte genügen.

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Pascal hat allerdings die Frage selbst noch nicht präzisiert und nun ein Verständnisproblem.