(1-n^2 ) / (2n ) = 1/(2n) - n/2 ist nach unten nicht beschränkt.
Sei C ∈ ℝ. Zu zeigen bleibt: Es gibt ein n mit an < C .
Falls C≥0 , wähle n = 2 Dann ist a2 = -3/4 jedenfalls < C.
Sei C ∈ ℝ. Dann gilt für alle n ∈ ℕ \ {0}
an = 1/(2n) - n/2 < C
<==> 1/n - n < 2c
<==> - n < 2c - 1/n < 2c
Also ist das erfüllt für -n < 2c .
bzw n > -2c
Und nach Archimedes gibt es für jede reelle Zahl
( also auch für -2c) ein n ∈ℕ das größer ist.
1 / ( n^2 + n- 1 ) ist nach unten beschränkt, denn für n>0 ist es
positiv und bo ist = -1 . Also ist -1 eine untere Schranke.
Das mit dem monotonfallend stimmt erst für n>0.
(Zur Existenz eines Grenzwertes reicht das ja.)
Sei also n>0. Dann ist zu zeigen bn+1 < bn
<=> 1 / ( (n+1)^2 + (n+1)- 1 ) < 1 / ( n^2 + n- 1 )
<=> 1 / ( (n^2 + 2n + 1 + n+1- 1 ) < 1 / ( n^2 + n- 1 )
<=> 1 / (n^2 + 3n + 1 ) < 1 / ( n^2 + n- 1 )
Wegen n≥1 sind beide Nenner positiv, also
<=> n^2 + 3n + 1 > < n^2 + n- 1
<=> 2n > - 2
und das gilt offenbar für alle n.