Folge auf Montonie und Beschränktheit untersuchen

Question

Aufgabe:

Man soll diese Folgen auf Monotonie und Beschränktheit untersuchen und ggf. den Grenzwert berechnen

a) \( a_{n}=\frac{1-n^{2}}{2 n}, \quad n \in \mathbb{N} \backslash\{0\} \)
b) \( a_{n}=\frac{1}{n^{2}+n-1}, \quad n \in \mathbb{N} \)

Problem:

Wie zeigt man, dass a_n unbeschränkt ist, und wie, dass b_n nach unten beschränkt und monoton fallend ist?

Answer 1

Wie zeigt man, dass an unbeschränkt ist

lim (n → ∞) (1 - n^2) / (2·n)

= lim (n → ∞) (1/n - n) / 2 = -∞

und wie, dass bn nach unten beschränkt und monoton fallend ist?

gehört die 0 zur Menge N dazu? Dann wäre bn nicht monoton fallend. Ich gehe davon aus das 0 mit zur Menge gehört, da die 0 in an explizit ausgeschlossen wird. Das wäre nicht nötig, wenn die 0 eh nicht dazu gehört.

b0 = -1

b1 = 1

Da der Nenner für alle n >= 1 positiv ist und damit der Bruch positiv ist wäre -1 der kleinste Wert der Folge. Damit haben wir schon die untere Schranke.

Comments

Aber muss ich, dass lim(n→∞) \( \frac{1}{2} \)·(\(  \frac{1}{n} \)−n) = −∞ nicht noch irgendwie begründen?

Damit haben wir gezeigt, dass a_n nicht nach unten beschränkt ist. Muss ich a_n jetzt noch auf obere Beschränktheit hin untersuchen? Was meinst du?

Zu b_n:

Das heißt b ist weder monoton fallend noch monoton steigend? Und wie sieht es mit einer oberen Schranke aus?

Ich hoffe, das ist nicht zu viel auf einmal

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Aber muss ich, dass lim(n→∞) 12·(1n−n) = −∞ nicht noch irgendwie begründen?

Den Grenzwert begründest du mit den Grenzwertsätzen. Der Grenzwert von (0 - ∞)/2 ist -∞.

Muss ich an jetzt noch auf obere Beschränktheit hin untersuchen? Was meinst du?

Es gibt den Satz: Unbeschränkte Folgen divergieren. Es langt also wenn eine Folge divergiert, damit sie unbeschränkt ist.

Und wie sieht es mit einer oberen Schranke aus?

Der Nenner ist für n >= 1 streng monoton wachsend und positiv und damit der Bruch streng monoton fallend. Ich traue dir zu das du das auch nachweisen kannst. b1 = 1 ist damit eine obere Schranke.

Answer 2

(1-n^2 ) / (2n )  =  1/(2n)  -  n/2  ist nach unten nicht beschränkt.

Sei C ∈ ℝ.  Zu zeigen bleibt:   Es gibt ein n mit a_n < C .

Falls C≥0 , wähle  n = 2 Dann ist a₂ = -3/4  jedenfalls < C.

Sei C ∈ ℝ.    Dann gilt  für alle n ∈ ℕ \ {0}

a_n =  1/(2n)  -  n/2   < C

     <==>   1/n   -  n   < 2c

<==>      -  n    < 2c  - 1/n   < 2c

Also ist das erfüllt für -n < 2c .

                        bzw  n > -2c

Und nach Archimedes gibt es für jede reelle Zahl

( also auch für -2c) ein n ∈ℕ  das größer ist.

1 / ( n^2 + n- 1 )  ist nach unten beschränkt, denn für n>0 ist es

positiv und b_o ist = -1 . Also ist -1 eine untere Schranke.

Das mit dem monotonfallend stimmt erst für n>0.

(Zur Existenz eines Grenzwertes reicht das ja.)

Sei also n>0. Dann ist zu zeigen  b_n+1 < b_n

_{<=>  1 / ( (n+1)^2 + (n+1)- 1 )     <  1 / ( n^2 + n- 1 )}

_{<=>  1 / ( (n^2 + 2n + 1  + n+1- 1 )     <  1 / ( n^2 + n- 1 )}

_{<=>  1 /  (n^2 + 3n + 1  )     <  1 / ( n^2 + n- 1 )}

_{Wegen n≥1 sind beide Nenner positiv, also} 

_{<=>        n^2 + 3n + 1     >     <   n^2 + n- 1} 

_{<=>                   2n     >     - 2}   

_{und das gilt offenbar für alle n.}

Comments

Wow, vielen vielen Dank! Nur eine Frage:

Im Beweis dafür, dass \( \frac{1-n^2}{2n} \) monoton fallend ist, kommst du ja an die Stelle

⇔   −n < 2C − \( \frac{1}{n} \)

Und dann sagst du, das sei erfüllt für −n < 2C, aber es könnte doch auch

     2C − \( \frac{1}{n} \) <  −n < 2C

sein, oder nicht? Vielleicht habe ich auch was falsch verstanden

Answer 3

Hallo

 a) du zeigst dass der Ausdruck ab einem bestimmten n kleiner als eine beliebige Schranke -S ist S in N, also  1/n-n<-S

b) beschränkt bn>-1 zeigen ,  und erst ab n=1 monoton fallend ab n=1 >0 und a_n+1<a_n mit a_n+1/a_n<1

lul

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!! Guter Tipp