Aufgabe:
a) Es sei \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum Für \( A_{1}, A_{2} \in \mathcal{F} \) gelte \( \mathbf{P}\left(A_{1}\right)=\mathbb{P}\left(A_{2}\right)=\frac{1}{4} \) Geben Sie hinreichende und notwendige Bedingungen an die Mengen \( A_{1} \) und \( A_{2} \) an, sodass \( \mathbb{P}\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=\frac{1}{2} \) gilt \( , \) d.h.
\[
\mathrm{P}\left(A_{1} \cup A_{2}\right)=\frac{1}{2} \Longleftrightarrow \ldots
\]
b) Für \( A \subseteq \) R definieren wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß \( \delta_{0} \) durch
\[
\delta_{0}(A)=\left\{\begin{array}{ll}
{1,} & {\text { falls } 0 \in A} \\
{0,} & {\text { sonst. }}
\end{array}\right.
\]
Geben Sie zwei nicht disjunkte Mengen \( A \) und \( B \) an, mit \( \delta_{0}(A \cap B)=0 \)
Notwendige Bedingung:
A1 und A2 sind disjunkt, da P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2)
A1 und A2 sind nicht voneinander unabhängig
Hinreichende Bedingung:
?
Kann mir jemand bei den weiteren Bedingungen helfen?
