Geben Sie die Gleichung der Kugel um M an, auf der die Punkte A, B und C liegen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Punkte
\[
A=(2,-8,3), B=(9,-1,3),  C=(9,9,3),  M=(-3,4,3)
\]
Geben Sie die Gleichung der Kugel um \( M \) an, auf der die Punkte \( A , B \) und \( C \) liegen.

 

Problem/Ansatz:

Kann jemand die Aufgabe erklären? Mit Lösungsweg vielleicht?

<Bild entsorgt...>

Answer 1

Nehmen wir eine Kugelgleichung M MIttelpunkt, r Radius

\(K(M, r, X) \, :=  \, \left(X - M \right)^{2} - r^{2} = 0\)

K((m1,m2,m3),r,(x,y,z)) macht 4 Unbekannte die durch 4 Punkte (x,y,z) beschrieben werden

Haben tun wir 3 Gleichungen  die eine Lösung suchen

\(\small \left(\begin{array}{r}-r^{2} + \left(-m1 + 2 \right)^{2} + \left(-m2 - 8 \right)^{2} + \left(-m3 + 3 \right)^{2}\\-r^{2} + \left(-m1 + 9 \right)^{2} + \left(-m2 - 1 \right)^{2} + \left(-m3 + 3 \right)^{2}\\-r^{2} + \left(-m1 + 9 \right)^{2} + \left(-m2 + 9 \right)^{2} + \left(-m3 + 3 \right)^{2}\end{array}\right)=0\)

Setzen wir ein, was wir haben....

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Hab das Bild entsorgt und meine Antwort modifiziert, weil durch die Overlays für Moderatoren Bild-Teile nicht lesbar waren.

Comments

Verstehe es leider nicht, was trage ich für r ein?

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Na ja, Du hast dem Mittelpunkt zum Eintragen und dann sollte für alle Punkte das gleiche r zu erhalten sein?

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Radius habe ich jetzt 13 und auch eingefügt, m1,m2,m3 eingefügt, das war´s?

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Ja, das sollte die Kugel sein.

ZUr Kontrolle kannst DU Deine Daten in GeoGebra eingeben:

Kugel(M,13) zeichnet die Kugel und die sollte bei A,B,C vorbei kommen

Answer 2

\(r=|\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}|=|\overrightarrow{MC}|=13\)

Bei der Berechnung des Radiusses kommt jedesmal das pythagoreische Zahlentripel (5;12;13) vor.

\(K: \left(\vec{x}-\begin{pmatrix} -3\\4\\3 \end{pmatrix}\right)^{2}=13^2\)