Lösen eines linearen Gleichungssystems

Question

Hallo liebe Lounge,

folgende Frage:

Wenn man ein LGS löst (zb. 2x2),

dann kann man ja zb das Additionsverfahren benutzen und generiert somit in der zweiten Zeile (bei eindeutiger Lösung) nur noch eine Variable.

Jetzt kann man diese ja in eine der beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.

Angenommen wir setzen das Ergebnis in die zweite Gleichung ein.

Intuitiv ist klar (denn sonst hätte es nach der Addition eine Widerspruchszeile gegeben), dass die Lösung (vorausgesetzt, sie ist richtig berechnet) auch die erste Gleichung erfüllen muss.

Aber kann man das mathematisch begründen? Liegt es daran, dass man die erste Gleichung ebenfalls „benutzt“ hat (bei der Addition)? Falls ja, kann man das mathematisch begründen ?

Ich hoffe, die Frage ist klar.

Liebe Grüße

Kombinatrix

Comments

Schön, dass du eine etwas tiefer gehende Frage stellst. Mathe verstehen bedeutet ja nicht einfach nur die richtige Lösung hinschreiben, sondern verstehen, warum sie richtig ist.

Answer 1

Aber kann man das mathematisch begründen? Liegt es daran, dass man die erste Gleichung ebenfalls „benutzt“ hat (bei der Addition)? Falls ja, kann man das mathematisch begründen ?

Ja.

Du hast die Gleichungen

ax + by = c
dx + ey = f

Erstmal solltest du wissen, dass das Additionsverfahren, Einsetzungsverfahren und Gleichsetzungsverfahren eigentlich immer das Gleiche machen. Zwei Unbekannte werden gleichgesetzt und dadurch eliminiert.

Man erhält dann nur noch eine Gleichung mit einer Unbekannten. Und zwar das nach Lösung dieser Unbekannten auch die andere Unbekannte gleich ist.

Gleichsetzungsverfahren

ax + by = c → adx = cd - bdy
dx + ey = f → adx = af - aey

Dann erhält man 
cd - bdy = af - aey

Wenn ich hier nach y auflöse erhalte ich genau das y für welches auf beiden Seiten adx herauskommt.

Einsetzungsverfahren

ax + by = c → adx = cd - bdy
dx + ey = f → adx = af - aey

Setzt man das gefundene af - aey für adx in die erste Gleichung ein sieht man, das ist eigentlich das Gleiche wie das Gleichsetzungsverfahren. Darum ist die Lösung auch nicht anders.

Additionsverfahren

ax + by = c → adx = cd - bdy
dx + ey = f → adx = af - aey

II - I

adx - adx = (af - aey) - (cd - bdy)
0 = (af - aey) - (cd - bdy)
cd - bdy = af - aey

Nanu. Das kommt dir jetzt auch sicher bekannt vor. Genau. Alle 3 Verfahren liefern eigentlich die gleiche Gleichung. Und zwar die für y genau die Lösung gibt. bei der auch das x gleich ist.

Das ist also alles nicht rein zufällig sondern bewusst so ausgelegt.

Answer 2

Es geht offensichtlich um ein System von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Damit ist (anschaulich) nach dem Schnittpunkt zweier Geraden gesucht. Wenn die Stelle (oder der Wert) dieses Punktes gefunden ist, ist der Punkt an dieser Stelle (zu diesem Wert) auf beiden Geraden der gleiche.

Comments

Diese Argumentation ist natürlich korrekt, passt aber für meine Denkensweise eigentlich eher zum Gleichsetzungsverfahren.

Dort ermittle ich ja durch das Gleichsetzten der Terme denjenigen x-Wert, an dem beide y-Werte identisch sind. Demnach kann ich mir die Gleichung aussuchen, mit der ich y berechne...

Die Frage ist: Wieso geht das auch beim Additionsverfahren :-O

Answer 3

Gegeben ist das Gleichungssystem

(1)        \(ax+b_{1}y=c_{1}\)
(2)        \(-ax+b_{2}y=c_{2}\).

Addition der Gleichungen liefert

        \(\left(b_{1}+b_{2}\right)y=c_{1}+c_{2}\),

also

(3)        \(y=\frac{c_{1}+c_{2}}{b_{1}+b_{2}}\).

Einsetzen von (3) in (1) liefert

\(\begin{aligned} ax+b_{1}\frac{c_{1}+c_{2}}{b_{1}+b_{2}} & =c_{1} &  & \text{Bruchrechenregeln Multiplikation}\\ ax +\frac{b_{1}\left(c_{1}+c_{2}\right)}{b_{1}+b_{2}}& =c_{1} &  & |\,-b_{1}\frac{\left(c_{1}+c_{2}\right)}{b_{1}+b_{2}}\\ ax & =c_{1}-\frac{b_{1}\left(c_{1}+c_{2}\right)}{b_{1}+b_{2}} &  & |\,:a\\ x & =\frac{c_{1}}{a}-\frac{b_{1}\left(c_{1}+c_{2}\right)}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)} &  & \text{Zähler ausmultiplizieren}\\ & =\frac{c_{1}}{a}-\frac{b_{1}c_{1}+b_{1}c_{2}}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)} &  & \text{mit }\left(b_{1}+b_{2}\right)\text{ erweitern}\\ & =\frac{c_{1}\left(b_{1}+b_{2}\right)}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)}-\frac{b_{1}c_{1}+b_{1}c_{2}}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)} &  & \text{Zähler ausmultiplizieren}\\ & =\frac{c_{1}b_{1}+c_{1}b_{2}}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)}-\frac{b_{1}c_{1}+b_{1}c_{2}}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)} &  & \text{Brüche subtrahieren}\\ & =\frac{c_{1}b_{1}+c_{1}b_{2}-\left(b_{1}c_{1}+b_{1}c_{2}\right)}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)} &  & \text{Minusklammern auflösen}\\ & =\frac{c_{1}b_{1}+c_{1}b_{2}-b_{1}c_{1}-b_{1}c_{2}}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)} &  & \text{Zusammenfassen}\\ & =\frac{c_{1}b_{2}-b_{1}c_{2}}{a\left(b_{1}+b_{2}\right)}. \end{aligned}\)

Setze jetzt (3) in (2) ein und überzeuge dich davon, dass du das gleiche Ergebnis bekommst.

Answer 4

Du multiplizierst die
1.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 2.Gleichung
und die
2.Gleichung mit dem Koeffizienten von x der 1.Gleichung
Dann sind die Koeffizienten gleich und du kannst das
Additionsverfahren anwenden.

4 * x + 7 * y = 12
3 * x + 6 * y = 1

4 * x + 7 * y = 12  | * 3
3 * x + 6 * y = 1  | * 4

12 * x + 21 * y = 36
12 * x + 24 * y = 4 | abziehen
--------------------------
21y - 24y = 32

Answer 5

Wenn das Gleichungssystem genau eine Lösung (x;y) besitzt, erfüllen die beiden Werte x und y beide Gleichungen, sonst wäre es ja keine Lösung. Wenn du also x zuerst bestimmt, muss der gleiche Wert für y rauskommen, egal ob du x in die erste oder zweite Gleichung einsetzt.