Kurvenschar. Bsp. Parameter a so bestimmen, dass fa einen Sattelpunkt hat) fa(x)=x^3-2ax^2+a^2 x

Question

Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen

Aufgabe:

1.) Bestimmen Sie Werte von a so, dass der Graph der Funktion fa mit fa(x)=x^3 - 2ax^2 + a^2 x

e) einen Sattelpunkt hat

f) die Nullstellen x1=0 und x2=4 hat

2.) Die Abbildung lässt vermuten, dass alle Graphen der Funktionen fa mit fa(x)=1/3 x^3+(2a-1)/2 x^2 - 2 a x an der Stelle x=1 einen Tiefpunkt haben. EDIT: Fehlende Leerschläge und Klammern in den Funktionsgleichungen ergänzt. 

a) Überprüfen Sie, ob diese Behauptung stimmt

b) Zeigen Sie, dass sich je zwei Graphen in den Punkten (0|0) und (2|2/3) schneiden

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Nr.1 bei e und f nicht weiter. Und wie soll ich das bei Nr.2 beweisen?

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Vom Duplikat:

Titel: Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen

Stichworte: ganzrationale-funktionen

Aufgabe:

1.) Bestimmen Sie Werte von a so, dass der Graph der Funktion fa mit fa(x)=x^3-2ax^2+a^2x

e) einen Sattelpunkt hat

f) die Nullstellen x1=0 und x2=4 hat

2.) Die Abbildung lässt vermuten, dass alle Graphen der Funktionen fa mit fa(x)=1/3x^3+2a-1/2x^2-2ax an der Stelle x=1 einen Tiefpunkt haben.

a) Überprüfen Sie, ob diese Behauptung stimmt

b) Zeigen Sie, dass sich je zwei Graphen in den Punkten (0|0) und (2|2/3) schneiden

Problem/Ansatz:

Ich komme bei der Nr.1 bei e und f nicht weiter. Und wie soll ich das bei Nr.2 beweisen?

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zu 2.) Die Funktionenschar ist fehlerhaft notiert!

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f_a(x)=x³-2ax²+a^2x soll das vielleicht f_a(x)=x³-2ax²+a²x heißen?

Bei Aufgabe 2 passen die Graphen nicht zur Funktionsgleichung.

Answer 1

2) \(f_a(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{2a-1}{2}x^2-2ax\)

   \(f_a(0)=\frac{1}{3}\cdot0^3+\frac{2a-1}{2}\cdot0^2-2a\cdot0=0\)
 

   \(f_a(2)=\frac{1}{3}\cdot2^3+\frac{2a-1}{2}\cdot2^2-2a\cdot2\)

   \(~~~~=\frac{8}{3}+(2a-1)\cdot2-4a\)

   \(~~~~=\frac{8}{3}+4a-2-4a\)

   \(~~~~=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow P_1(0|0) \) und \(P_2(2|\frac{2}{3})\) liegen auf allen Kurven der Kurvenschar.

    

Answer 2

f_a(x)=x^3 -  2ax^2  +  a^2 x

e) einen Sattelpunkt hat:

Das ist ja insbesondere auch ein Wendepunkt:

                               f_a ' (x)=3x^2 -  4ax  +  a^2

                                         fa ' ' (x)=6x -  4a

Sattelpunkt bei x ==>  fa ' ' (x) = 0 ==>    2a/3

und wegen   fa ' ' ' (2a/3) = 6 ist  dort auch wirklich ein Wendepunkt.

Damit es ein Sattelpunkt wird muss noch fa ' (  2a/3 ) = 0 gelten:

                               -a^2 / 3 = 0

Das geht aber nur für a=0 .    

f) die Nullstellen x1=0 und x2=4 hat :

  fa (0) = 0  und  fa (4) = 0

     0=0      und  4a^2 - 32a + 64 = 0

                        a^2 -8a + 16 = 0

                              a=4

Also ist die Lösung von f)    a=4

2) Wohl so:

  f_a(x)=(1/3)x^3+( (2a-1)/2  )x^2-2ax an der Stelle x=1 einen Tiefpunkt haben.

==> fa ' (x) = x^2 + (2a-1) * x - 2*a

==>  f_a(1) = 0

und    fa ' ' (x) =  2x+2a-1  ==>  fa ' ' (1) = 2a+1

Eine hinreichende Bedingung für Tiefpunkt bei x=1 wäre

   fa(1) = 0        und    fa ' ' (1)  > 0

Also ist das nur erfüllt für 2a+1 > 0  bzw  a>-0,5.

In der Tat ist etwa a=-2 dort ein Hochpunkt.

Und für das letzte denke dir a≠b und rechne :

(1/3)x^3+( (2a-1)/2  )x^2-2ax = (1/3)x^3+( (2b-1)/2  )x^2-2bx

<=>   (a-b)x^2 + 2*(b-a)x = 0

<=>  x * (   (a-b)x + 2*(b-a) )

und wegen a-b≠0  gibt das x=0 oder x= 2.

Und fa(0)= 0 und fa(2) =2/3.    q.e.d.

Comments

und    fa ' ' (x) =  2x+2a-1  ==>  fa ' ' (1) = 2a+1

...

Also ist das nur erfüllt für 2a+1 > 0  bzw  a> -0,5.

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und wegen  fa ' ' ' (2a/3) = 6 ist  dort auch wirklich ein Wendepunkt.

Damit es ein Sattelpunkt wird muss noch fa ' (  2a/3 ) = 0 gelten:

                              +2a² / 3 = 0

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Danke für die Korrekturen.

War ich wieder mal etwas schnell.

Ich baue das oben ein .