Ganzrationale Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und hat im Punkt W(2/0) einen Sattelpunkt

Question

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4. grades geht durch den Ursprung und hat im Punkt W(2/0) einen Sattelpunkt. Die Normale im Ursprung hat die Steigung -0,25

Wie gehe ich hier bei dieser Aufgabe vor?

Answer 1

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4. grades

f(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e

geht durch den Ursprung

f(0) = 0
e = 0

und hat im Punkt W(2/0)

f(2) = 0
16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = 0

einen Sattelpunkt. 

f'(2) = 0
32·a + 12·b + 4·c + d = 0

f''(2) = 0
48·a + 12·b + 2·c = 0

Die Normale im Ursprung hat die Steigung -0,25

f'(0) = -1/(-0,25)
d = 4
 

Das LGS liefert uns die Lösung nach dem Gauß-Verfahren die Lösung

a = - 1/2 ∧ b = 3 ∧ c = -6 ∧ d = 4 ∧ e = 0

Unsere Funktion lautet

f(x) = -1/2x⁴ + 3x³ - 6x² + 4x

 

Hier noch eine Skizze

Answer 2

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und hat im Punkt W$(2|0)$ einen Sattelpunkt. Die Normale im Ursprung hat die Steigung $m_N= -0,25$

geht durch den Ursprung: einfache Nullstelle

hat im Punkt W$(2|0)$ einen Sattelpunkt→ dreifache Nullstelle :

$f(x)=a[x(x-2)^3]$

Die Normale im Ursprung hat die Steigung $m_N= -0,25$

Somit beträgt die Tangentensteigung $m_T= \frac{1}{0,25}=4$:

$f'(x)=a[1(x-2)^3+x\cdot 3(x-2)^2 ]$

$f'(0)=a[(0-2)^3+0\cdot 3(0-2)^2=-8a ]$

$-8a=4 ]$

$a=-\frac{1}{2}$:

$f(x)=-\frac{1}{2}x(x-2)^3$