Ganzrationale Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und hat im Punkt W(2/0) einen Sattelpunkt

Question

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4. grades geht durch den Ursprung und hat im Punkt W(2/0) einen Sattelpunkt. Die Normale im Ursprung hat die Steigung -0,25

Wie gehe ich hier bei dieser Aufgabe vor?

Answer 1

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4. grades

f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

geht durch den Ursprung

f(0) = 0
e = 0

und hat im Punkt W(2/0)

f(2) = 0
16·a + 8·b + 4·c + 2·d + e = 0

einen Sattelpunkt. 

f'(2) = 0
32·a + 12·b + 4·c + d = 0

f''(2) = 0
48·a + 12·b + 2·c = 0

Die Normale im Ursprung hat die Steigung -0,25

f'(0) = -1/(-0,25)
d = 4
 

Das LGS liefert uns die Lösung nach dem Gauß-Verfahren die Lösung

a = - 1/2 ∧ b = 3 ∧ c = -6 ∧ d = 4 ∧ e = 0

Unsere Funktion lautet

f(x) = -1/2x^4 + 3x^3 - 6x^2 + 4x

 

Hier noch eine Skizze

Answer 2

Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 4. Grades geht durch den Ursprung und hat im Punkt W\((2|0)\) einen Sattelpunkt. Die Normale im Ursprung hat die Steigung \(m_N= -0,25\)

geht durch den Ursprung: einfache Nullstelle

hat im Punkt W\((2|0)\) einen Sattelpunkt→ dreifache Nullstelle :

\(f(x)=a[x(x-2)^3]\)

Die Normale im Ursprung hat die Steigung \(m_N= -0,25\)

Somit beträgt die Tangentensteigung \(m_T= \frac{1}{0,25}=4\):

\(f'(x)=a[1(x-2)^3+x\cdot 3(x-2)^2 ]\)

\(f'(0)=a[(0-2)^3+0\cdot 3(0-2)^2=-8a ]\)

\(-8a=4 ]\)

\(a=-\frac{1}{2} \):

\(f(x)=-\frac{1}{2}x(x-2)^3\)