Umkehrfunktion f^-1 berechnen

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Abbildung
f : ℝ×ℝ → ℝ×ℝ, (x₁, x₂) → (y₁, y₂) = f(x₁, x₂) := (αx₁+βx₂, γx₁+δx₂).
Die Funktion enthaelt also vier Parameter α, β, γ, δ ∈ ℝ, d.h. wir betrachten die Schar all dieser
Abbildungen.
Aufgabe: Berechnen Sie die Umkehrfunktion f⁻¹, sofern diese existiert. Falls Sie im Verlauf der Rechnung eine Bedingung an die Parameter stellen mussen, um die Umkehrfunktion zu finden, geben Sie diese Bedingung(en), die Sie benoetigt haben, am Ende mit an. Je weniger Bedingungen, desto besser.

Problem/Ansatz:

Suchen Sie zu einem belieben Element des Wertebereichs (y₁, y₂)∈ℝ×ℝ nach einem Urbild (x₁, x₂). Im Verlauf der Rechnung / Zum Loesen von Gleichungssystemen: Versuchen Sie so weit wie moeglich auf die Division von Gleichungen zu verzichten (warum?); versuchen Sie stattdessen, Gleichungen mit geeigneten Faktoren zu multiplizieren und dann die resultierenden Gleichungen z.B. zu subtrahieren, um Unbekannte zu eliminieren. Wenn Sie es geschickt anstellen, reicht es, eine einzige Bedingung an α, β, γ, δ zu stellen. Auf den Nachweis der Injektivitaet (eigentlich auch erforderlich) soll hier verzichtet werden

Comments

Ich glaub wir sitzen in derselben Vorlesung und ich hoffe jemand kennt die Antwort ich hab nämlich genauso wenig Ahnung. ^^

Answer 1

Aloha :)

Ich schreibe im Folgenden \(a,b,c,d\) anstatt \(\alpha,\beta,\gamma,\delta\), einfach weil es weniger zu tippen ist. Die Abbildungsgleichung lautet:$$\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}ax_1+bx_2\\cx_1+dx_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right)\cdot x_1+\left(\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right)\cdot x_2=\left(\begin{array}{c}a & b\\c & d\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)$$Die Umkehrfunktion ist daher:$$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a & b\\c & d\end{array}\right)^{-1}\cdot\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)$$Aufgabe ist also die Invertierung der Matrix. Das machen wir mit dem Gauß-Jordan-Algortihmus:

$$\begin{array}{l}a & b & | & 1 & 0 & | &\cdot\,d \\c & d & | & 0 & 1 & | &\cdot\,b \end{array}$$$$\begin{array}{l}ad & bd & | & d & 0 & | &-Gl.(2) \\bc & bd & | & 0 & b & | & \end{array}$$$$\begin{array}{l}ad-bc & 0 & | & d & -b & | &:\,(ad-bc) \\bc & bd & | & 0 & b & | & \end{array}$$$$\begin{array}{l}1 & 0 & | & \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} & | &\\bc & bd & | & 0 & b & | &\,-\,bc\cdot Gl.(1) \end{array}$$$$\begin{array}{l}1 & 0 & | & \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} & | &\\0 & bd & | & \frac{-bcd}{ad-bc} & b+\frac{b^2c}{ad-bc} & | & \end{array}$$Den Term ganz rechts unten kann man noch anders schreiben:$$b+\frac{b^2c}{ad-bc}=\frac{b(ad-bc)}{ad-bc}+\frac{b^2c}{ad-bc}=\frac{abd}{ad-bc}$$Damit machen wir weiter:$$\begin{array}{l}1 & 0 & | & \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} & | &\\0 & bd & | & \frac{-bcd}{ad-bc} & \frac{abd}{ad-bc} & |\;:\,bd & \end{array}$$$$\begin{array}{l}1 & 0 & | & \frac{d}{ad-bc} & \frac{-b}{ad-bc} & | &\\0 & 1 & | & \frac{-c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} & | & \end{array}$$

Damit haben wir also gefunden:$$\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{c}d & -b\\-c & a\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)\quad;\quad ad-bc\ne0$$Und die gesuchte Umkehrfunktion lautet:

$$f^{-1}:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}\,,\,(x_1,x_2)\to\left(\begin{array}{c}\frac{d}{D}\,x_1-\frac{b}{D}\,x_2\\-\frac{c}{D}\,x_1+\frac{a}{D}\,x_2\end{array}\right)\;\text{mit}\;D:=ad-bc\ne0$$Im Verlauf der Rechnung haben wir auch noch durch \(bd\) dividiert. Streng genommen müssen wir also noch nachweisen, dass die Umkehrabbildung auch gilt, falls \(bd=0\) ist. Am einfachsten multipliziert man dazu die Matrix mit der berechneten Inversen und zeigt, dass die Einheitsmatrix als Ergebnis rauskommt.

Comments

Vielen Dank! Super hilfreich. :)