Zeigen Sie, dass det(a)=n+1.

Question

Aufgabe: Die (n*n) Matrix A über R ist gegeben mit
$$\begin{pmatrix} 2 & 1 & ...& 1 \\ 1 & 2 &...& 1 \\ : & : &...& :\\ 1 & 1 &...& 2 \end{pmatrix}$$. Zeigen Sie, dass det(A)= n+1 ist.

Problem/Ansatz:

Vermutlich ist das ganze per vollständiger Induktion zu zeigen.
Der Induktionsanfang ist leicht zu zeigen indem man für n=1 die Determinante bestimmt. Das geht auch für n=2, n=3 und n=4 recht schnell. Nach dem Entwicklungsatz sehen wir auch, dass die Determinante einer beliebig großen (n x n) Matrix A ist:

2* Det der Matrix (n-1)*(n-1) (was der ersten Streichmatrix entspricht) - (n-1).

Für n = 5 : 2*5-(5-1). Allg, : 2*n-(n-1).

Wie bringe ich dies nun in der vollständigen Induktion zusammen?

Vielen Dank im Voraus.

Comments

Tipp: (n+1) ist ein EW und 1 ist ein (n-1)-facher EW.

Answer 1

Mach eine determinanteninvariante Matrizenmanipulation, dann sieht man, dass der Satz stimmt:

Nimm die erste Zeile als Pivotzeile und subtrahiere sie von der 2. Zeile, dann von der 3. ....und schon hast du eine Menge Nullen.

Dann addiere zur ersten Spalte alle anderen Spalten und schon ist es eine Dreiecksmatrix mit det = n+1.

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1& 1& 1& & & 1& 1  \\ 1 & 2& 1& 1& 1& & & 1& 1 \\ 1 & 1 & 2& 1& 1& & & 1& 1 \\1 & 1 & 1& 2& 1& & & 1& 1 \\ 1 & 1 & 1& 1& 2& & & 1& 1 \\ \\ \\ 1 & 1 & 1& 1& 1& & & 2& 1 \\ 1 & 1 & 1& 1& 1& & & 1& 2 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1& 1& 1& & & 1& 1  \\ -1 & 1 & & & & & & &  \\ -1 &  & 1& & & & & &  \\-1 &  & & 1& & & & &  \\ -1 &  & & & 1& & & &  \\ \\ \\ -1 &  && & & & & 1&  \\ -1 &  & & & & & & & 1 \end{pmatrix} \)

\( \begin{pmatrix} 2+n-1 & 1 & 1& 1& 1& & & 1& 1  \\  & 1 & & & & & & &  \\  &  & 1& & & & & &  \\ &  & & 1& & & & &  \\  &  & & & 1& & & &  \\ \\ \\ &  && & & & & 1&  \\  &  & & & & & & & 1 \end{pmatrix} \)

det A = 1*1*1...*(n+1)