bei folgender Aufgabe weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll
Seinen \(X_1,...,X_n)\) i.i.d. Zufallsvariablen mit Normalverteilung \(N(0,1)\).
Sei \(\phi(t) := \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{t} e^{-s^2/2} ds\) die Verteilungsfunktion der Variable \(X_1\).
Sei \(M_n :=max(X_1,...X_n)\).
a) Zeige für \(n≥2\):
\(E[M_n]=\frac{n}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{\infty} te^{-t^2/2} (\phi(t)^{n-1})dt\)
b) Zeige für \(n≥2\):
\(E[M_n]=\frac{n(n-1)}{\sqrt{2}(2\pi)^{n/2}}\int\limits_{\mathbb{R}^{n-1}}^{} e^{-s^2/2} e^{-s_1^2/2}...e^{-(s_{n-2})^2/2} \mathbb{1}_{\{s≥\sqrt{2}s_1\}}...\mathbb{1}_{\{s≥\sqrt{2}s_{n-2}\}}dsds_1...ds_{n-2}\)
Vielen Dank!
