Gleichmächtigkeit des reellen Intervalls (-1; 1) und IR bzw reellen Intervalle (a; b) und (c; d), mit a<b, c<d

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie (durch Angabe einer Bijektion)

(i) Gleichmächtigkeit des reellen Intervalls (-1; 1) und IR

(ii) Gleichmächtigkeit der reellen Intervalle (a; b) und (c; d), mit a<b, c<d

Hinweis: Um eine Bijektion zu finden, ist jeweils eine Skizze hilfreich. Denken Sie darüber
nach, welche Eigenschaften (ggf. Nullstellen, ggf. Polstellen) die Funktion haben soll.
Bemerkung:Wenn man (i) und (ii) kombiniert, dann ergibt sich, dass R und jedes beliebige
reelle Teilintervall (a; b) gleich mächtig sind!

Im Voraus lieben Dank für jede Hilfe.

Answer 1

(i) Mit desmos herumprobiert:

\(f(x)=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)

(ii)

\(f(x)=0.5(c+d)+ \dfrac{4}{\pi}\arcsin\left(\dfrac{x-0.5(b+a)}{0.5(b-a)}\right)\)

Für a=2; b=5; c=3; d=7 graphisch dargestellt:

Comments

Man soll sich zwar nicht selbst loben, aber mit gefällt's.  :-)