Konvergenz von Folgen 2 Beweise

Question

Hallo. Bewiesen werden müssen folgende Aussagen:

an konvergiert gegen a, bn konvergiert gegen b, an<bn∀n∈N. Daraus folgt a<b

an konvergiert gegen 0, (bn) beschränkt. Daraus folgt  an*bn konvergiert gegen 0

Comments

Sollte es nicht a≤b statt a<b heißen?

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nein, < ist schon richtig

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nein, < ist schon richtig

mag sein, aber dann lässt sich die erste Aussage nicht beweisen, weil sie falsch ist!

Gegenbeispiel:$$a_n=2 - \frac 1n, \quad b_n = 2 - \frac 1{n+1}$$hier ist \(a_n \lt b_n \, \forall n \in \mathbb{N}\) und gleichzeitig ist aber $$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n = 2$$

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Danke :) dann muss sie widerlegt werden

Answer 1

an konvergiert gegen a,

 bn konvergiert gegen b,

an<bn  ∀n∈N.

Beachte den Kommentar von Spacko !

Angenommen, es wäre a > b

==>  ε :=  a-b   > 0 .  Also auch  ε /2 > 0 .

Gemäß Grenzwertdef. gibt es für  ε /2

sowohl ein N als auch ein M sodass für

alle n > max (N,M) gilt  | an-a| <  ε /2 als auch    | bn-b| <  ε /2

Die an liegen damit alle in der  ε /2 von a und die bn in der  ε /2 von a .

Da sich diese Umgebungen nicht überschneiden

und a > b ist, sind die an alle größer als die bn im

Widerspruch zu Vor.