Stochastik: Multinomialverteilung

Question

Problem/Ansatz:

Ich habe mein mündliches Abitur Thema bekommen und das ist Stochastik. Dazu habe ich 2 Aufgaben bekommen bei denen ich nicht so klar komme bzw. nicht weiß was ich machen soll. Ich würde mich über Hilfe freuen und würde auch um Erklärung bitten.

Aufgabe 1:

Ein Roboter beginnt im Ursprung eines Koordinatensystems eine Wanderung, bei der er in jede Minute seine Position um eine Einheit nach rechts oder oben zufällig ändert.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Roboter nach 10 Minuten im Punkt P (4|6).

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gelangt der Roboter dabei über dem Punkt Q (2|3) zum Punkt P.

c) Welche Strecke wird der Roboter im Mittel nach 10 Minuten in x Richtung zurückgelegt haben ?.

d) Wie groß ist der erwartete Abstand des Roboters von Ursprung im Mittel nach 10 Minuten ?.

Aufgabe 2:

Erweitern sie die Aufgabe 1 auf 3 Dimensionen.

Stellen sie dabei Fragen wie 1a) auf und beantworten sie diese rechnerisch.

Anmerkung: Ein Beispiel mit nur wenigen schritten reicht aus. Eine allgemeine Lösung (Stichwort: Multinomialverteilung) geht positiv in die Bewertung ein.

Answer 1

a) Der Roboter geht 10 Schritte, 4 nach rechts, 6 nach oben führen zum Ziel.

X=Anzahl der Rechtsschritte, X ist binom.vert. mit n=10, p=0,5

P(X=4) =  \( \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} \) 0,5¹⁰ = 0,20...

b) Der Roboter geht zunächst 5 Schritte, 2 nach rechts, 3 nach oben führen zum Ziel.

X=Anzahl der Rechtsschritte, X ist binom.vert. mit n=5, p=0,5

P(X=2) =  \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \) 0,5⁵ = 0,31...

Dann geht er von (2|3) nach (4|6), also wieder 5 Schritte, 2 nach rechts, 3 nach oben.

^....

P(Aufg,b) = P(X=2)  * P(X=2) = 0,097...

c) Fortsetzung von a):

E(X)=n*p=10*0,5=5

d) Der Abstand ist nicht binomialverteilt, man muss den Erwartungswert mühsam ausrechnen:

E(Abstand) =\( \sum\limits_{n=0}^{10}{P(X=k)*Abstand(k)} \) = 7,4...

Der Abstand vom Nullpunkt bei k Rechtsschritten ist (k nach rechtes, 10-k nach oben, Pythagoras):

\( \sqrt{k^2+(10-k)^2} \) = \( \sqrt{2*k^2+100-20*k} \)

Kann es sein, dass die Aufg. zu schwer für die Schule ist (oder gehst du in Singapur zur Schule:) und nur gestellt wurde, weil man dachte, die Lösung ginge so:

E(X) = 5, Y=Anzahl der Hochschritte, also E(Y)=5,

also E(Abstand)= \( \sqrt{25+25} \) =7,07...

Das ist nicht der Erwartungswert, sondern der minimale Abstand.

Aufg. 2)

Ein Roboter beginnt im Ursprung eines Koordinatensystems eine Wanderung, bei der er in jede Minute seine Position um eine Einheit in x-Richtung oder in y-Richtung oder in z-Richtung zufällig ändert.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Roboter nach 10 Minuten im Punkt P (2|3|5).

X=Schrittzahl in x-Richtung

Y=Schrittzahl in y-Richtung

Z=Schrittzahl in z-Richtung

Der Roboter geht 10 Schritte, 2 in x-Richtung, 3 in y-Richtung, 5 in z-Richtung nach oben führen zum Ziel.

X+Y+Z= n=10, p=1/3

P(X=2,Y=3,Z=5) =  \( \begin{pmatrix} 10\\2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 8\\3 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} \) (1/3)¹⁰ = ..

d.h. Wähle, wo er die 2 geht, wo die 3, wo die 5.

Man kann P umformen, so dass es der Formel für die multinomiale (=polynomiale) Verteilung entspricht:

= \( \frac{10!}{2!8!} \) \( \frac{8!}{3!5!} \) \( \frac{5!}{5!0!} \) (1/3)¹⁰

= \( \frac{10!}{2!3!5!} \) (1/3)¹⁰

In der Formel stehen die Schrittzahlen einfach im Nenner.

^Vgl:

https://www.onlinemathe.de/forum/Erlaeuterung-der-Polynomial-Multinomialverteilung

Comments

Hallo Helmus,

Danke für deine Hilfe. Zu Afugabe d) Ich habe nicht ganz so verstanden wie du den Erwartungswert ausgerechnet hast. Mann muss ja auch in dieser Aufgabe den Erwartungswert ausrechnen. Ich denke nicht das die Aufgabe so komplex ist, weil ich auf die Stadtteilschule gehe. Könntest du mir nochmal erklären wie ich den Erwartungswert ausrechne in Aufgabe d), weil ich habe es jetzt nicht so richtig verstanden ich würde mich auf eine Antwort freuen Danke.

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mit der Grundformel, bzw, der Definition:

Ist X eine diskrete Zufallsvariable, so heißt

μ=E(X)=∑x_i⋅P(X=x_i)

der Erwartungswert von X.

xi sind alle Werte, die X annehmen kann: hier 0,1,...10.

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Hallo Helmus,

Ich habe eine Frage zu Aufgabe 1d) n=10 k= 4 also Anzahl der Rechtsschritte. Jetzt kann ich ja anhand dieser Angaben den binomialkoeffizient anwenden also n über k. Das habe ich dann im Taschenrechner eingegeben = 10C4 = 210m. Der Roboter hat also der erwartete Abstand  des Roboters von Ursprung in Mitte beträgt 210m richtig so ?.

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Er macht in 10 Minuten 10 Schritte, kann also höchstens nur 10 Schritte (Meter) weit kommen. Wenn er nicht nur geradeaus läuft, weniger.