a) Der Roboter geht 10 Schritte, 4 nach rechts, 6 nach oben führen zum Ziel.
X=Anzahl der Rechtsschritte, X ist binom.vert. mit n=10, p=0,5
P(X=4) = \( \begin{pmatrix} 10\\4 \end{pmatrix} \) 0,510 = 0,20...
b) Der Roboter geht zunächst 5 Schritte, 2 nach rechts, 3 nach oben führen zum Ziel.
X=Anzahl der Rechtsschritte, X ist binom.vert. mit n=5, p=0,5
P(X=2) = \( \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix} \) 0,55 = 0,31...
Dann geht er von (2|3) nach (4|6), also wieder 5 Schritte, 2 nach rechts, 3 nach oben.
....
P(Aufg,b) = P(X=2) * P(X=2) = 0,097...
c) Fortsetzung von a):
E(X)=n*p=10*0,5=5
d) Der Abstand ist nicht binomialverteilt, man muss den Erwartungswert mühsam ausrechnen:
E(Abstand) =\( \sum\limits_{n=0}^{10}{P(X=k)*Abstand(k)} \) = 7,4...
Der Abstand vom Nullpunkt bei k Rechtsschritten ist (k nach rechtes, 10-k nach oben, Pythagoras):
\( \sqrt{k^2+(10-k)^2} \) = \( \sqrt{2*k^2+100-20*k} \)
Kann es sein, dass die Aufg. zu schwer für die Schule ist (oder gehst du in Singapur zur Schule:) und nur gestellt wurde, weil man dachte, die Lösung ginge so:
E(X) = 5, Y=Anzahl der Hochschritte, also E(Y)=5,
also E(Abstand)= \( \sqrt{25+25} \) =7,07...
Das ist nicht der Erwartungswert, sondern der minimale Abstand.
![abs.jpg](https://www.mathelounge.de/?qa=blob&qa_blobid=11066345202279700211)
Aufg. 2)
Ein Roboter beginnt im Ursprung eines Koordinatensystems eine Wanderung, bei der er in jede Minute seine Position um eine Einheit in x-Richtung oder in y-Richtung oder in z-Richtung zufällig ändert.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist der Roboter nach 10 Minuten im Punkt P (2|3|5).
X=Schrittzahl in x-Richtung
Y=Schrittzahl in y-Richtung
Z=Schrittzahl in z-Richtung
Der Roboter geht 10 Schritte, 2 in x-Richtung, 3 in y-Richtung, 5 in z-Richtung nach oben führen zum Ziel.
X+Y+Z= n=10, p=1/3
P(X=2,Y=3,Z=5) = \( \begin{pmatrix} 10\\2 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 8\\3 \end{pmatrix} \) \( \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} \) (1/3)10 = ..
d.h. Wähle, wo er die 2 geht, wo die 3, wo die 5.
Man kann P umformen, so dass es der Formel für die multinomiale (=polynomiale) Verteilung entspricht:
= \( \frac{10!}{2!8!} \) \( \frac{8!}{3!5!} \) \( \frac{5!}{5!0!} \) (1/3)10
= \( \frac{10!}{2!3!5!} \) (1/3)10
In der Formel stehen die Schrittzahlen einfach im Nenner.
Vgl:
https://www.onlinemathe.de/forum/Erlaeuterung-der-Polynomial-Multinomialverteilung