Definition für Primzahlen - Beweis

Question

Aufgabe:

Beweisen sie, das folgende Definition für Primzahl äquivalent zu der Definition aus der VL (Eine Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler besitzt) ist:

Definition:  Eine Zahl p>0∈IN heißt Primzahl, wenn gilt: Falls p die Zahl a⋅b teilt, so teilt p auch einen der Faktoren a oder b.

Problem/Ansatz:

zur 1. Definition - logisch, da eine Primzahl nur sich selbst und die 1 als Teiler hat... aber sonst komme ich nicht weiter...

Comments

Nach der 2. Definition wäre 1 doch auch eine Primzahl.

4 teilt 8·12. Wäre 4 demnach eine Primzahl?

Entweder sind deine Angaben unvollständig oder die Definition ist falsch.

Das sieht mir eher hiernach aus:

Lemma von Euklid: Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist mindestens einer der Faktoren durch sie teilbar.

(aus Wikipedia: Primzahl)

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4=2*2 aber 4 teilt nicht 2. Ergo keine Primzahl. In der Voraussetzung muss es aber p>1 heißen, dass ist richtig.

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@EmNero

Über a und b sind in der Frage von Jano keine weiteren Voraussetzungen genannt, nur dass p a oder b teilt.

Answer 1

Hallo

in deiner Definition müsste stehen: Eine Zahl p>1∈IN heißt Primzahl, wenn gilt: Falls p die Zahl a⋅b teilt, so teilt p auch einen der Faktoren a oder b.

sonst haben die Kommentare recht.

Dann braucht man den Satz: ggT(p,a)=1 folgt 1=m*p+n*a

das als bekannt vorausgesetzt, kannst du mit b multiplizieren

b=m*a*b+n*b*p der zweite Summand ist durch p teilbar, nach Vors auch a*b deshalb ist b durch p teilbar.

Gruß lul