Könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen :(
Wir nehmen an für jede ganze Zahl N ≥ 2 ist die Menge Z/NZ mit den Verknüpfungen +, · genau dann ein Körper , wenn N eine Primzahl ist.
1. Zeigen Sie, dass in jedem Körper gilt a2 =1⇒(a=1 oder a=−1).
2. Zeigen Sie, dass für jede Primzahl p gilt:
[(p − 1)!] = [−1] ∈ Z/pZ.
3. Zeigen Sie die Umkehrung: Ist N > 2 keine Primzahl, so gilt
[(N − 1)!] ̸= [−1] ∈ Z/NZ.
Text erkannt:
Aufgabe 5 (Zusatzaufgabe) \( { }^{1} \) In der Vorlesung hatte ich behauptet, dass für jede ganze \( Z a h l N \geq 2 \) die Menge \( \mathbb{Z} / N \mathbb{Z} \) mit den Verknüpfungen \( +, \cdot \) genau dann ein Körper ist, wenn \( N \) eine Primzahl ist. Das dürfen Sie in dieser Aufgabe verwenden.
1. Zeigen Sie, dass in jedem Körper gilt \( a^{2}=1 \Rightarrow(a=1 \) oder \( a=-1) \).
2. Zeigen Sie, dass für jede Primzahl p gilt:
\( [(p-1) !]=[-1] \in \mathbb{Z} / p \mathbb{Z} . \)
3. Zeigen Sie die Umkehrung: Ist \( N>2 \) keine Primzahl, so gilt
\( [(N-1) !] \neq[-1] \in \mathbb{Z} / N \mathbb{Z} \)
