Berechne Fourierkoeffizienten cl von f in exponentialform. Wie tue ich das?

Question

f(t)= -1 + 3 cos(t) + 2sin(t) - sin(3t)

ich weiß, dass  c0 = -1 , a1 = 3 , b1 = 2 und b3 = -1 alle anderen 0

cl = 1/T \( \int\limits_{0}^{T} \)f(t) * e^-lwt

^{cl setzt sich aber auch aus:} 

^{l = k e N:   ck = 1/2(ak - ibk)}

^{l = k e Z:  ck = 1/2(ak + ibk)}

Wie bekomme ich jetzt cl in exponentieller Form heraus ohne Taschenrechner?

Answer 1

Es gelten die Beziehung $$ a_k = c_k + \overline{ c_{k} } $$  und $$  b_k = i ( c_k - \overline{ c_k } ) $$

Das kann man nach den \( c_k \) auflösen und man bekommt $$ \begin{pmatrix} c_k \\ \overline{c_k} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -i \\ 1 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_k \\ b_k \end{pmatrix}  = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} a_k -  i b_k \\ a_k + i b_k \end{pmatrix} $$

Jetzt die Werte für \( a_k \) und \( b_k \) einsetzten und ausrechnen. Z.B. $$ c_0 = \frac{1}{2} (a_0 - i b_0) = \frac{1}{2} ( -2 - i \cdot 0 ) = -1 $$ usw.

Comments

wie bekomme ich das aber in exponential form?

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$$  r = \sqrt{ \operatorname{Re} c_k^2 + \operatorname{Im} c_k^2 } $$

$$ \phi = \arg (c_k) $$

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aber wie bekommt man den winkel ohne elektronische mittel
ich verstehe schon wie man das rechnet aber wie man das in kopf rechnen kan verstehe ich nicht

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Welche Wer hast Du denn für die komplexen Fourierkoeffizienten rausbekommen? Schreib die mal auf.

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c1 = 1/2(3-2i)
c2 = 0

c3 = 1/2 i

c-1 = 1/2(3+2i)

c-2 = 0

c3 = -1/2i

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Z.B. bei \( c_0 = -1 \) ist es einfach. $$  r = \sqrt{ (-1)^2 + 0^2 } = 1 $$ und $$ \phi = \arctan \left( \frac{0}{-1} \right) = \pi $$ D.h. $$ c_0 = e^{i \pi}  $$ Die anderen gehen auch so. Nur bei \( c_1 \) kommen keine glatten Zahlen raus. Da gibt man den Winkel eben als $$ \phi = -\arctan \left( \frac{2}{3} \right) $$ an. \( r \) kann man immer angeben.