Geschwindigkeitsgleichung aufstellen ohne Geschwindigkeit, geringsten Abstand Ermitteln

Question

Aufgabe:

Zum Zeitpunkt t= 0s befindet sich ein Modellflugzeug im Punkt P(200|0|50), ein zweites im Punkt Q(230|150|30) ( alle Angaben im m). Die Geschwindigkeitsvektoren der beiden Flugzeuge sind u1= verktor (10/20/0) und u2= Vektor (12/15/2). Zeigen Sie, dass sich die Bahnen schneiden, die Flugzeuge aber nicht treffen. Ermitteln Sie den geringsten Abstand der beiden Flugzeuge und den Zeitpunkt, zu dem dies der Fall ist. Nach t=... beträgt der minimale Abstnd... .

Problem/Ansatz:

vielleicht kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich weiß nicht wie man auf die Gleichungen kommt und wie man den minimalen Abstand herausbekommt.

Im voraus vielen Dank für eure Hilfe

Answer 1

Zwei der Komponentengleichungen von \( \begin{pmatrix} 200\\0\\50\end{pmatrix} \) +k· \( \begin{pmatrix} 10\\20\\0 \end{pmatrix} \) =\( \begin{pmatrix} 230\\150\\30 \end{pmatrix} \) +m·\( \begin{pmatrix} 12\\15\\2 \end{pmatrix} \)  haben die Lösungen m=10 und k=15, welche auch die dritte Komponentengleichung erfüllen. Damit lässt sich zunächst der Schnittpunkt S der Flugbahnen bestimmen. Dann sind die Längen von \( \vec{PS} \) und von \( \vec{QS} \) zubestimmen.Außerdem sind die Beträge der Geschwindikkeitsvektoren gleich den Geschwindigkeiten. Die Längen und die Geschwindigkeiten ermöglichen die Bestimmung der Flugzeiten und da diese voneinander abweichen, treffen die Flugzeuge sich nicht.

Comments

Danke schon mal für deine Hilfe.

Den ersten Schritt mit der Schnittpunktenberechnung habe ich verstanden, aber wie bekomme ich den minimalsten Abstand heraus ?

Answer 2

a) Zeigen Sie, dass sich die Bahnen schneiden, die Flugzeuge aber nicht treffen.

S = [200, 0, 50] + r·[10, 20, 0] = [230, 150, 30] + s·[12, 15, 2] → r = 15 ∧ s = 10

Das erste Flugzeug durchfliegt den Schnittpunkt nach 15 s, das erste bereits nach 10 s. Damit passieren sie den Schnittpunkt mit einer Zeitdifferenz von 5 s.

b) Ermitteln Sie den geringsten Abstand der beiden Flugzeuge und den Zeitpunkt, zu dem dies der Fall ist.

d² = |[200, 0, 50] + r·[10, 20, 0] - ([230, 150, 30] + r·[12, 15, 2])|²
d² = |[- 2·r - 30, 5·r - 150, 20 - 2·r]|²
d² = (- 2·r - 30)^2 + (5·r - 150)^2 + (20 - 2·r)^2
d² = 4·r^2 + 120·r + 900 + 25·r^2 - 1500·r + 22500 + 4·r^2 - 80·r + 400
d² = 33·r^2 - 1460·r + 23800
(d²)' = 66·r - 1460 = 0 → r = 730/33 = 22.12 s

d(730/33) = √(33·(730/33)^2 - 1460·(730/33) + 23800) = 50/33·√3333 = 87.47 m

Comments

Wie kommt man bei Aufgabe b auf ( -2r-30, 5r-150,20-2r) hoch 2?

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Nur zusammenfassen

[200, 0, 50] + r·[10, 20, 0] - ([230, 150, 30] + r·[12, 15, 2])

= [200, 0, 50] + r·[10, 20, 0] - [230, 150, 30] - r·[12, 15, 2]

= [200, 0, 50] - [230, 150, 30] + r·[10, 20, 0] - r·[12, 15, 2]

= [-30, -150, 20] + r·[-2, 5, -2]

= [-30 - 2·r, -150 + 5·r, 20 - 2·r]