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Aufgabe:

Ein Fisch schwimmt in einem Bach mit der konstariten Geschwindigkeit \( \mathrm{x}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{m}} \) relativ furn Wasser. Die Energie E (in Joule), die er dazu benötigt, hängt von seiner Form und von seiner Geschwindigkeit \( x \) ab. Aus Experimenten weiß man, dass die Energie mit \( E_{x}(x)=c \cdot \frac{x^{k}}{x-2} \) modelliert werden kann. Hierbei ist \( c>0 \) eine Konstante und \( k>2 \) ein Parameter, der von der Form des Fisches abhängt: Je "plumper" der Fisch ist, desto größer der Parameter \( k \).

a) Bei welcher Geschwindigkeit ist der Energieaufwand des Fisches am geringsten?

b) Erläutern Sie, wie die energiesparendste Geschwindigkeit eines Fisches von seiner Form abhängt.


Benötige ein paar Ansätze:

Ek(x) = c*x^k /(x-2)

\( E_{k}(x) = c \frac{x^{k}}{x-2} \)

c ist kleiner als 0 ist eine Konstante und k größer als 2 ein Parameter, der vom Fisch abhängt..

x sei geschwindigkeit in m pro sekunde

Energieverbrauch ist E k(x)

Frage: Bei welcher Geschwindigkeit ist der Energieaufwand des Fisches am geringsten?

Habe mir überlegt, ob es der Tiefpunkt der Ortskurve der Tiefpunkte ist, bin ich im Recht?

Falls das stimmt, wie mache ich weiter, habe derzeit noch keine Ahnung wie ich das lösen soll mit ZWEI Parameter in der Gleichung.

Avatar von

Ok. Fische schwimmen wohl nicht mehr als 2 m/s = 7.2 km/h. Zumindest nicht die untersuchten Fische. Weiterhin ist c > 0. Das hattest du oben verkehrt angegeben. Jetzt macht das auch gleich mehr Sinn.

E(x) = c·x^k/(x - 2)

E'(x) = c·x^{k - 1}·(k·x - x - 2·k)/(x - 2)^2

Bei welcher Geschwindigkeit ist der Energieaufwand des Fisches am geringsten?

Extremstelle E'(x) = 0

k·x - x - 2·k = 0
x = 2·k/(k - 1) = 2 + 2/(k - 1)

Sei k = 2 dann ist die energieärmste Geschwindigkeit 4 m/s. Mit steigendem K nimmt die ernergieärmste Geschwindigkeit ab. für k gegen unendlich hat diese den Grenzwert 2 m/s.

1 Antwort

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c>0 ist eine Konstante und k > 2 ein Parameter, der vom Fisch abhängt. Somit ist k-1 > 1

Ek(x) = c*xk /(x-2)

Ableiten mit Quotientenregel.

Ek'(x) = c* (k * x^{k-1}*(x-2) - 1*x^k)/ (x-2)^2 = 0, c≠0.

Zähler 0 setzen:  k*x^{k-1}(x-2) - x^k = 0

k*x^k - 2kx^{k-1} - x^k = 0

k*x*x^{k-1} - 2k*x^{k-1} - x*x^{k-1} = 0

x^{k-1} (kx -2k-x)= 0,    x≠0

x(k-1) = 2k

x = 2k/(k-1)

Betrachte die 2. Graphik hier: (k>2)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+%3D+2k%2F%28k-1%29++

Fische mit sehr grossem k haben eine ideale Geschwindigkeit von 2m/s.

Fisch mit k=2 eine solche mit x= 4m/s.

Avatar von 162 k 🚀
Kann dem ganzen nicht so folgen, wie klammert man da x^k-1 aus? Muss da mal meinen Lehrer fragen, trotzdem danke für deine Antwort!!! Wahrscheinlich ist das richtig, aber muss mir das mündlich einmal anhören.

Ich habe oben noch diese Zeile (ausklammern) eingefügt: 

k*x*x^{k-1} - 2k*x^{k-1} - x*x^{k-1} = 0

Melde, wenn du einen Fehler findest. Vielleicht willst du auch deine Aufgabe noch etwas heller fotografieren. Ich musste ziemlich raten, was da stehen könnte.

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