Ein Lkw fährt mit einer konstanten Geschwindigkeit v km/h und verbraucht 10 + v/4 Liter Kraftstoff pro 100 km. Der Kraftstoff kostet 2 Euro pro Liter. Die Lohnkosten für den Fahrer betragen 20 Euro pro Stunde. Bei welcher Geschwindigkeit v werden die Gesamtkosten minimal sein?
k ( v ) = 10 + v/4 | Kraftstoffverbrauch pro 100 km
g ( v ) = k * 2 | Geld pro 100 km
l = 20 Euro lohn pro std
s = 100 km
t = s / v
k ( v ) = 10 + v/4
g ( v ) = 2 * ( 10 + v/4 )
l = 20 * t = 20 * s / v
Gesamtkosten = 2 * ( 10 + v/4 ) + 20 * s / v
2 * ( 10 + v/4 ) + 20 * 100 / v
20 + 2*v / 4 + 20 * 100 /v
gesamtkosten = v/2 + 2000/v + 20
ableiten
g ´ = 1/2 - 2000 / v^2
Extremwert
g ´= 0
v = 63.24 km/h
Ist allerdings auf die schnelle berechnet.
