Wie viele Arbeitnehmer in der Materialausgabe, damit die stündlichen Gesamtkosten minimal werden?

Question

In einem Reparaturwerk (z.B. Kfz-Reparatur-Werkstatt) befindet sich eine zentrale
Material-Ausgabestelle, die pro Stunde im Durchschnitt von 40 Monteuren aufgesucht
wird. Die mittlere Wartezeit t (in Minuten) der Ankommenden bis zum Erhalt des
verlangten Materials hängt umgekehrt proportional ab von der Anzahl x der in der
Ausgabe Beschäftigten:
t(x) =20/x
Der Lohn des Monteurs betrage 24 e/h, der eines in der Ausgabe Beschäftigten 20
e/h.
Wie viele Arbeitnehmer sollte das Werk in der Materialausgabe einsetzen, damit die
stündlichen Gesamtkosten für die Materialausgabe (=Lohnkosten plus Wartekosten)
minimal werden?

Answer 1

die Ausgabestelle wird pro Stunde von 40 Monteuren aufgesucht. Jeder Monteur wartet \(t(x)=(20/x)\text{min}\). Folglich ist die Gesamtwartezeit \(t_g\) der Monteure pro Stunde $$t_g = 40 \cdot \frac{20}{x} \text{min}$$ und die Lohnkosten \(L_m\) für diese Wartezeit der Monteure beträgt $$L_m = t_g \cdot 24 \frac{€}{\text{h}} =40 \cdot \frac{20}{x} \text{min} \cdot 24 \frac{€}{60\text{min}} = \frac{320}{x} €$$ Zusammen mit den Lohnkosten \(L_a\) pro Stunde für die \(x\) Arbeitnehmer, die in der Ausgabe beschäftigt werden, sind das $$L =L_m + L_a = \frac{320}{x}€ + x \cdot 20€$$ Ableiten nach \(x\) und zu 0 setzen gibt: $$L'=\frac{-320}{x^2}€ +20 € = 0 \quad \implies x = 4$$ Ein Plot dazu ~plot~ 320/x+20x;[[-1|8|-2|300]];{4|160} ~plot~ Bem.: die negative Lösung \(x_2=-4\) liegt natürlicherweise nicht im Definitionsbereich von \(x\).

Gruß Werner