Question

Wenn es um den geringsten Abstand von zwei jeweils windschiefen Geraden im dreidimensionalen Raum geht, wie erstellt man daraus eine Extremwert-Aufgabe? Ich kann ja nicht einfach die erste Ableitung der Differenz der beiden Geraden nehmen. Dafür gäbe es ja auch zu viele Variablen.

Comments

Geht es um eine spezielle Aufgabe wo du das so machen sollst?

Normal weiß man ja das die Vermindungsgerade, senkrecht zu beiden Geraden sein muss. Das wäre der generelle ansatz.

Man könnte auch eine Extremwertaufgabe mit 2 Unbekannten machen. Dann müssten beide partiellen Ableitungen gleich Null sein.

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Also wir haben im Sinne der Abiturvorbereitung uns solche Aufgaben angeschaut. Allerdings nur mit der hessischen Normal-Form und der Hilfsebene. Aber an sich wäre meine Frage ja auf jede Aufgabe übertragbar.

Answer 1

Vermutlich hast du ja die Geradengleichungen in Parameterform

so in der Art

Vektor x = .................    und Vektor y = ........................

Dann bilde die Differenz x-y und davon die Länge .

Dann hast du eine Formel mit 2 Variablen ( das sind

die Parameter aus den Geradengleichungen.)

Dann bilde die beiden partiellen Ableitungen und

setze sie gleich 0.

Comments

Okay vielen Dank.

Wir hatten noch keine partielle Ableitung.

Da werde ich mal schauen ob ich mir das aneingnen kann.

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Da werde ich mal schauen ob ich mir das aneingnen kann.

Das brauchst du nicht, denn mit einer Hilfsebene ist das viel einfacher zu rechnen.

Daher meine Frage, ob ihr das tatsächlich so machen sollt.

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Nein aber es interessiert mich sehr. :-)

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Ich kann ja nicht einfach die erste Ableitung der Differenz der beiden Geraden nehmen. Dafür gäbe es ja auch zu viele Variablen.

Es gibt genau zwei Variablen und danach kann man auch ableiten. Nehme zwei Geraden $$g: \quad \vec x = \vec p_g + s\cdot \vec r_g \\ h: \quad \vec x = \vec p_h + t\cdot \vec r_h $$der Abstand soll minimal werden$$|g(s) - h(t)| \to \min$$heißt auch, dass das Quadrat \(e\) des Abstands minimiert werden soll - also$$e(t,s) = (\vec p_g + s\cdot \vec r_g - \vec p_h - t\cdot \vec r_h)^2 \to \min $$und das leite man nach \(s\) und \(t\) ab:$$\frac{\partial e}{\partial s} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g- t \vec r_h)\vec r_g \to 0\\ \frac{\partial e}{\partial t} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g - t \vec r_h)\vec r_h \to 0$$und das ist ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. In dieser Form$$\begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix}$$

Comments

Vielen Dank für ihre Antwort!

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Wie ist das Quadrat \(e\) definiert?

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Okay ich schätze ich habe es verstanden. Auch wenn ich das Quadrieren der Differenz zum Quadrat nicht verstehe.

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\(e(t,s) = (\vec p_g + s\cdot \vec r_g - \vec p_h - t\cdot \vec r_h)^2 \to \min \)

Und das Minus in der zweiten Geradengleichung, zwischen Stütz- und Richtungsvektor, ist aufgrund des Minus in der Differenz, oder?

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Wie ist das Quadrat \(e\) definiert?

das soll das Abstandsquadrat sein. \(e\) ist so definiert, wie es da steht:$$e=|g(s) - h(t)|^2  = (\vec p_g + s\cdot \vec r_g - \vec p_h - t\cdot \vec r_h)^2$$

Auch wenn ich das Quadrieren der Differenz zum Quadrat nicht verstehe.

Na ja - viel zu verstehen gibt es da gar nicht. Das ist eher ein Trick, um sich die Wurzellei zu sparen. Sei der Abstand \(a\)$$a = |g(s) - h(t)|$$dann ist das ausgeschrieben:$$\dots = \sqrt{(\vec p_g + s\cdot \vec r_g - \vec p_h - t\cdot \vec r_h)^2}$$wenn man das jetzt ableitet, bekommt man$$a' = \frac{\left((\vec p_g + s\cdot \vec r_g - \vec p_h - t\cdot \vec r_h)^2\right)'}{2\sqrt{(\vec p_g + s\cdot \vec r_g - \vec p_h - t\cdot \vec r_h)^2}} \to 0$$und das ist nur genau dann \(=0\), wenn der Zähler \(=0\) ist. Und der Zähler ist identisch mit dem Ausdruck oben in meiner Antwort - also mit der Ableitung von \(e\) dem Abstandsquadrat.

Auf 'mathematisch' heißt das: Da das Quadrieren für positive Argumente eine streng monoton stetig steigende Funktion ist, ist dort ein Extremwert auch eine Extremwert des Arguments (oder so ähnlich)

Bzw.: wenn \(a^2 \lt b^2\) dann gilt auch \(|a| \lt |b|\)

Und das Minus in der zweiten Geradengleichung, zwischen Stütz- und Richtungsvektor, ist aufgrund des Minus in der Differenz, oder?

Ja sicher $$\begin{aligned} g(s) - h(t) &= (\vec p_g + s\cdot \vec r_g) - (\vec p_h + t\cdot \vec r_h) \\&= \vec p_g + s\cdot \vec r_g - \vec p_h - t\cdot \vec r_h\end{aligned}$$

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Vielen, vielen Dank!

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Bitte Verzeihen sie, dass ich ihre Zeit so sehr in Anspruch nehme, doch um ehrlich zu sein, verstehe ich doch noch nicht den Übergang der jeweils abgeleiteten e-Quadrat-Funktion

\(\frac{\partial e}{\partial s} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g- t \vec r_h)\vec r_g \to 0\\ \frac{\partial e}{\partial t} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g - t \vec r_h)\vec r_h \to 0\)

zu dem linearen Gleichungssystem

\(\begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix}\)

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verstehe ich doch noch nicht den Übergang der jeweils abgeleiteten e-Quadrat-Funktion ... zu dem linearen Gleichungssystem

... das ist Übung ;-) Es steht oben und unten genau das gleiche, nur eben in einer anderen Form$$\begin{aligned}\frac{\partial e}{\partial s} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g- t \vec r_h)\vec r_g &= 0\\ \frac{\partial e}{\partial t} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g - t \vec r_h)\vec r_h &= 0 \\ &\Downarrow \\ (\vec p_g - \vec p_h)\vec r_g + s \vec r_g^2- t \vec r_h \vec r_g &= 0 \\ (\vec p_g - \vec p_h)\vec r_h + s \vec r_g\vec r_h - t \vec r_h^2 &= 0 \\ &\Downarrow  \\ s \vec r_g^2- t \vec r_h \vec r_g &= (\vec p_h - \vec p_g)\vec r_g  \\ s \vec r_g\vec r_h - t \vec r_h^2 &= (\vec p_h - \vec p_g)\vec r_h \\ \Downarrow \\ \begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix} \end{aligned}$$

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Wenn man mit dem Rechnen mit Vektoren und Matrizen mehr vertraut ist, dann kann man auch eine \(3\times 2\)-Matrix \(R\) definieren$$R = \begin{pmatrix} \vec r_g &\vec r_h\end{pmatrix}$$Weiter nenne ich die Differenz der Positionsvektoren \(\vec p_h - \vec p_g = \Delta \vec p\) (achte auf die Reihenfolge von \(g\) und \(h\)!)

und dann ist \(e\) $$e = \left( - \Delta \vec p + R \begin{pmatrix} s\\ -t \end{pmatrix}\right)^2$$

die Ableitung von \(e\) nach dem 'Vektor' \(\begin{pmatrix} s&-t\end{pmatrix}^T\) ist dann$$ \vec e' = 2R^T \left( - \Delta \vec p + R \begin{pmatrix} s\\ -t \end{pmatrix}\right) \to 0 \\ \implies R^T R \begin{pmatrix} s\\ -t \end{pmatrix} = R^T \Delta \vec p$$.. ist wieder das gleiche wie oben ;-) und die Form eignet sich prima als Eingabe in ein Tabellenkalkulaionsprogramm, wie z.B. Excel oder LibreOffice.

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Vielen Dank für ihre wundervolle Antwort. :-)

Ich schätze den weg bis zu...

\(\begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix}\)

...habe ich verstanden.

Und wenn ich dann nach (\(t\) und \(s\)) umgestellt habe, setzte ich das in \(e\)(\(t\),\(s\)), oder?

Aber selbst dann bekomme ich ja "nur" einen Vektor, so weit ich das verstehe...

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Beziehungsweise setze ich das ja dann hier: \(|g(s) - h(t)| \) ein...

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Beziehungsweise setze ich das ja dann hier: \(|g(s) - h(t)| \) ein...

Ja natürlich. Obiges lineares Gleichungssystem liefert Dir die Werte von \(s_{\text{opt}}\) und \(t_{\text{opt}}\) mit dem minmalen Abstand. Und \(g(s_{\text{opt}})\) und \(h(t_{\text{opt}})\) sind jeweils die Punkte auf den Geraden mit dem kleinsten Abstand zur jeweils anderen.

Der Betrag der Differenz \(|g(s) - h(t)| \) ist dann dieser minimale Abstand. Und \(e(s_{\text{opt}}, t_{\text{opt}})\) wäre eben das Quadrat dieses Abstands gewesen.

Rechne doch mal ein Beispiel durch:

$$g: \quad\vec x = \begin{pmatrix}-2\\ 2\\ 0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \\ h: \quad \vec x = \begin{pmatrix}3\\ -1\\ -1\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}$$

die Ergebnisse findest Du im Geoknecht3D. Klicke dazu auf das Bild.

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Also ich verstrehe nicht ganz, was ich falsch mache. Egal wie oft ich die Aufgabe durchgehe, komme ich nicht auf die 3 LE. Allerdings finde ich meinen Fehler auch nicht. Es kann natürlich deswegen so sein, da ich ihren letzten Schritt:...

( \(\begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix}\) )

...doch nicht ganz nachvollziehen konnte und ich diesen übersprungen habe.

So leuchtet mir nicht ein, wie sie \(s\) und \(t\) so isolieren konnten um den Vektor:...

\( \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix}\)

...zu erstellen. Doch an sich dürfte das kein Hindernis sein. Gerade bei ihrem Beispiel kann man ja schon relativ zeitig die werte für \(s\) und \(t\) ablesen.

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...so komme ich immer auf \(s = 5 \) und \(t = 1,5 \).

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So leuchtet mir nicht ein, wie sie \(s\) und \(t\) so isolieren konnten ...

Ok - mal ganz langsam. Die einzelnen Elemente des LGS sind:$$\vec r_g^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2 \\ \vec r_h \vec r_g = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 1 \\ \vec r_h^2 = 0^2 + 2^2 + 1^2= 5 \\ \vec p_h - \vec p_g = \begin{pmatrix}5\\ -3\\ -1\end{pmatrix} \\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g = 5 \cdot 1 + (-3)\cdot 0 + (-1) \cdot 1= 4 \\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h = 5 \cdot 0 + (-3)\cdot 2 + (-1) \cdot 1= -7$$Macht alles zusammen$$\begin{pmatrix} 2& -1\\ 1& -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ -7 \end{pmatrix}$$verdoppele die zweite Zeile und ziehe sie von der ersten ab: $$0 s + 9t = 18 \implies t = 2$$Einsetzen in die zweite Gleichung des LGS gibt$$s - 10 = -7 \implies s = 3$$Jetzt in die Geradengleichungen einsetzen liefert die Werte für die Punkte \(g(s=3)\) und \(h(t=2)\).

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Ja okay, das ist schlüssig.

Allerdings verstehe ich den Übergang vom vorletzten zum letzten Schritt hierbei:...

\(\begin{aligned}\frac{\partial e}{\partial s} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g- t \vec r_h)\vec r_g &= 0\\ \frac{\partial e}{\partial t} = 2(\vec p_g - \vec p_h + s \vec r_g - t \vec r_h)\vec r_h &= 0 \\ &\Downarrow \\ (\vec p_g - \vec p_h)\vec r_g + s \vec r_g^2- t \vec r_h \vec r_g &= 0 \\ (\vec p_g - \vec p_h)\vec r_h + s \vec r_g\vec r_h - t \vec r_h^2 &= 0 \\ &\Downarrow \\ s \vec r_g^2- t \vec r_h \vec r_g &= (\vec p_h - \vec p_g)\vec r_g \\ s \vec r_g\vec r_h - t \vec r_h^2 &= (\vec p_h - \vec p_g)\vec r_h \\ \Downarrow \\ \begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix} \end{aligned}\)

...nicht ganz.Also wie man aus dem Gleichungssystem in diesem Fall eine Matrix aufbaut und s und t isoliert.

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Allerdings verstehe ich den Übergang vom vorletzten zum letzten Schritt hierbei ... nicht ganz.

Im Grunde findet da gar kein Übergang statt. Das sind nur zwei unterschiedliche Schreibweisen für die gleiche Sache. Ich mache es mal mit dem Zahlenbeispiel. Aus$$\begin{aligned} 2s - t &= 4 \\ s - 5t &= -7\end{aligned}$$wird in der Matrixschreibweise.$$\begin{pmatrix} 2& -1\\ 1& -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ -7 \end{pmatrix}$$Auf der linken Seite des linearen Gleichungssystems (LGS) steht die Multiplikation einer Matrix mit dem Vektor aus \(s\) und \(t\).

Das schriftlich zu erklären, ist irgendwie schwierig, weil es so einfach ist! Schau Dir mal dies Beispiel an oder hier ist das auch mit Zahlen erklärt, aber natürlich ist das egal, ob da Zahlen oder Variablen stehen.

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Ja, selbstverständlich. Bitte verzeihen Sie. Dass man das so macht, ist mir völlig entfallen. Vielen Dank!

Ich habe gerade noch eine hitzige "Debatte" über das Thema mit meinem Mathematiklehrer. Er ist der Meinung, man könne nicht einmal die Geradengleichungen ableiten, da es aus seiner Sicht keine eindeutige Zuordnung bzw. eine unendliche Zuordnung für s und t gibt und man das nur mit der partiellen Ableitung tun könnte. Allerdings verstehe ich sein Argument nicht ganz. Ich meine gerade darum geht es ja, s und t sind jeweils Punkte zuzuordnen (unendlich viele Punkte) und deren Betrag der Differenz ist der Abstand dieser Punkte. Oder irre ich mich?

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... und man das nur mit der partiellen Ableitung tun könnte.

Na ja - ich unterscheide nicht wirklich zwischen der partiellen und der 'normalen' Ableitung. Es wird doch in jedem Fall nach genau einer Variablen abgeleitet.

Und es wird ja auch nicht die Geradengleichung abgeleitet, sondern das, was ich oben als \(e(s,t)\) bezeichnet habe - also das Abstandsquadrat. Und das wird eben nach \(s\) UND \(t\) abgeleitet.

Oder irre ich mich?

Nö ich denke Du liegst richtig. Aber vielleicht meinen Dein Lehrer und Du dasselbe und es ist nur eine Frage des 'Wordings'.

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Aber würde es nicht letztendlich so aussehen:

\(\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}& - \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}\\  \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}& - \begin{pmatrix} 0\\4\\1 \end{pmatrix}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} -5\\0\\1 \end{pmatrix}\\  \begin{pmatrix} -5\\-6\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}\)

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Weil so wäre ich mir dann doch etwas unsicher, wie man das mit der Matrix löst.

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Aber würde es nicht letztendlich so aussehen:

wie kommst Du darauf? das müsstest Du erklären. Links oben stehen die Richtungsvektoren der Geraden. Die anderen Vektoren kann ich nicht zuordnen.

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Naja, gut unabhängig davon welche Vektoren dort stehen, wie würde ich eine solche Matrix mit solchen Vektoren so lösen?

...bzw. würde ich dann tatsächlich beispielsweise die Vektoren....

\( \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}\) und \( \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}\)

...subtrahieren?

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würde ich dann tatsächlich beispielsweise die Vektoren.... subtrahieren?

Nein! das steht da auch nicht! Wenn Du das so schreibst $$\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}& - \begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix}\\  \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}& - \begin{pmatrix} 0\\4\\1 \end{pmatrix}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} -5\\0\\1 \end{pmatrix}\\  \begin{pmatrix} -5\\-6\\1 \end{pmatrix} \end{pmatrix}$$dann steht da $$\begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} s -\begin{pmatrix} 0\\2\\1 \end{pmatrix} t =  \begin{pmatrix} -5\\0\\1 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} s - \begin{pmatrix} 0\\4\\1 \end{pmatrix} t = \begin{pmatrix} -5\\-6\\1 \end{pmatrix}$$das wäre völlig äquivalent. Jetzt bleibt die Frage wie Du darauf kommst?

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Ja, jetzt komme ich auch auf die Vektoren. Allerdings ist mir noch etwas unklar, wie man eine solche Matrix dann löst.

(Bitte Verzeihen Sie mein Unverständnis, es wird sicherlich/ hoffentlich eine der letzten Fragen zu diesem Thema sein.)

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Ja, jetzt komme ich auch auf die Vektoren.

Äh - ja wie denn?? Die Vektoren aus Deinem Kommenatr vom 19.2 um 9:35 kann ich nicht zuordnen.

Allerdings ist mir noch etwas unklar, wie man eine solche Matrix dann löst.

Die Matrix löst man gar nicht. Gelöst wird das lineare Gleichungssystem (LGS). Ich hatte oben schon erwähnt, dass dies $$\begin{pmatrix} 2& -1\\ 1& -5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ -7 \end{pmatrix}$$und dies $$\begin{aligned} 2s - t &= 4 \\ s - 5t &= -7\end{aligned}$$absolut das gleiche ist. Nur eben in einer anderen Schreibweise. Wenn das LGS mehr Unbekannten hätte, würde man es nach dem Gauß-Verfahren lösen.

So ein kleines Ding kann man (fast!) im Kopf rechnen. Hier bietet sich das Subtraktionsverfahren an. Multipliziere die zweite Gleichung mit \(2\) und ziehe sie von der ersten ab:$$\implies 9t = 18 \implies t = 2$$das setzt man z.B. in die zweite Gleichung an, und löst nach \(s\) auf:$$s - 5\cdot2 = -7 \implies s = 3$$

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Ich muss mich nocheinmals entschuldigen. Ich habe, schätze ich, die falsche Frage gestellt.

Mein Problem war, dass ich praktisch nicht verstanden habe, wie sie mit den Vektoren umgehen. Beispielsweise an folgender Stelle:

\(\vec r_g^2 = 1^2 + 0^2 + 1^2 = 2 \\ \vec r_h \vec r_g = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 1 \\ \vec r_h^2 = 0^2 + 2^2 + 1^2= 5 \\ \vec p_h - \vec p_g = \begin{pmatrix}5\\ -3\\ -1\end{pmatrix} \\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g = 5 \cdot 1 + (-3)\cdot 0 + (-1) \cdot 1= 4 \\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h = 5 \cdot 0 + (-3)\cdot 2 + (-1) \cdot 1= -7\)

Ich glaube mein einziges wirkliches Problem war, dass ich nicht verstanden habe, wie sie, wenn ein vektor quadriert oder mit einem anderen Vektor multipliziert wird, die unterschiedlichen werte für x/y/z zu einer Zahl addieren, wie als würden sie diese Skalar-multiplizieren. Dafür würde mir allerdings kein Grund einfallen.

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... dass ich nicht verstanden habe, wie sie, wenn ein vektor quadriert oder mit einem anderen Vektor multipliziert wird, die unterschiedlichen werte für x/y/z zu einer Zahl addieren, ...

Das ist das Skalarprodukt. Wenn man zwei Vektoren hat, so kann man diese mit einander multiplizieren wie zwei Matrizen oder eine Matrix und einen Vektor. Vektor ist wie Matrix nur eben mit einer Spalte. Ist$$\vec v_1 = \begin{pmatrix}a\\ b\\ c\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$$so lautet das Skalarprodukt \(s\) korrekt$$s = v_1^T \cdot v_2$$eine andere Schreibweise ist$$s = \left< v_1,\, v_2\right>$$man beachte das \({}^T\) beim ersten Vektor.. Das steht für 'transponiert'. Das \({}^T\) lässt man an dieser Stelle oft weg, da es 'selbstverständlich' ist.

Und ausgeschrieben ist es dann$$s = \begin{pmatrix}a & b&\ c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix} = a\cdot x + b \cdot y + c \cdot z$$Das Skalarprodukt ist immer eine Zahl also ein Skalar, daher der Name.

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Ah verstehe, das erklärt Einiges.

Dennoch ist mir nicht klar, weshalb man das so macht. Ich dachte, das Skalarprodukt würde hinweise auf die Größe des Winkels geben.

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Ich dachte, das Skalarprodukt würde hinweise auf die Größe des Winkels geben.

man kann mit dem Skalarprodukt den Winkel zwischen zwei Vektoren berechen. Das ist aber nur eine klitzeklein Anwendung desselben.

Dennoch ist mir nicht klar, weshalb man das so macht.

Man 'macht' es eben nicht! Sondern es ergibt sich so. Du erinnerst Dich an unsere Ausgangsgleichung.$$e(s,t) = (s\cdot \vec r_g - t\cdot \vec r_h - \Delta \vec p)^2 $$Das \(\vec p_h - \vec p _g\) habe ich mit \(\Delta \vec p\) abgekürzt, sonst wird das folgende zu lang.

Das \(e(s,t)\) soll minimiert werden. Auf die Wurzel, die der Betrag des Differenzenvektors wäre, hatten wir ja bereits verzichtet. Wenn das Quadrat minmal wird, ist auch die Wurzel minmal!

Ohne Vektorschreibweise stünde da$$e(s,t) = (sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x)^2 + (sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y)^2 + (sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z)^2$$ist das gleiche wie oben, nur eben ohne Vektorschreibweise. Jetzt nach \(s\) ableiten:$$\frac{\partial e}{\partial s} = 2(sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x)r_{gx} + 2(sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y)r_{gy} + 2(sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z)r_{gz}$$Wieder ziemlich länglich aber auch nicht sonderlich kompliziert. Jetzt schaue Dir diesen Ausdruck mal genau an. Die \(2\) ist ein konstanter Faktor vor jedem Summanden und der Rest sieht doch aus wie $$\dots = ax + by + cz$$das sieht aus, wie ein Skalarprodukt. Also könnte man es auch in Vektorschreibweise hinschreiben:$$\begin{aligned} \frac{\partial e}{\partial s} &=2 \begin{pmatrix} r_{gx}& r_{gy}& r_{gz}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x\\sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y \\sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z \end{pmatrix} \\ &= 2\vec r_g^T(s \vec r_g- t \vec r_h - \Delta \vec p) \end{aligned}$$und schon sind wir wieder bei dem Ausdruck, mit dem ich oben in meiner Antwort vom 17.2. angefangen habe.

D.h. der Einsatz von Vektoren führt lediglich zu einer verkürzten Schreibweise. Und dass sich dann zwischendurch Skalarprodukte bilden, ist ein logischer Prozess.

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Danke für ihre ganze Mühe.

Vielleicht liegt es daran, dass ich mir Vektor-Transformationen falsch vorstelle oder daran, dass ich kein richtiges Verständnis für skalare Multiplikation habe, aber wenn ich ausgehend davon:...

\(\begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix}\)

... ein lineares Gleichungssystem aufstelle:...

...wie kann da dann Skalarmultiplikation ins spiel kommen?

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..wie kann da dann Skalarmultiplikation ins spiel kommen?

ich nehme an, Du meinst das Skalarprodukt und nicht die Multiplikation mit einem Skalar.

Jeder einzelne Koeffizent des LGS ist das Produkt zweier Vektoren - bzw. ein Skalarprodukt.

In meinem Kommentar vom 18.2. von 22:00Uhr habe ich das für das einfache Beispiel durchgerechnet (siehe dort). Der Kommentar beginnt mit:

Ok - mal ganz langsam. Die einzelnen Elemente des LGS sind:

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Ja, das verstehe ich.

Aber weshalb ist das "Produkt zweier Vektoren" gleich dem "Skalar"?

Also wie kann es dasselbe sein, wie wenn ich einen der beiden Vektoren transformiere und ihn dann somit multiplizieren?

Wahrscheinlich kann ich mir nur einfach nicht vorstellen, wie sie es erklärt habe, dass man Vektoren als Matrizen behandelt etc.

Für mich ergibt das nur bedingt sinn.

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Beziehungsweise habe ich ein zu einfaches Verständnis von Vektoren und Matrizen. Ich kann mir eine Transformation praktische nicht wirklich vorstellen.

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*Transponiert

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Bei ihrem Kommentar von vor drei Tagen verstehe ich nicht den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und dieser Gleichung:

\(\frac{\partial e}{\partial s} = 2(sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x)r_{gx} + 2(sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y)r_{gy} + 2(sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z)r_{gz}\)

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Aber weshalb ist das "Produkt zweier Vektoren" gleich dem "Skalar"?
Also wie kann es dasselbe sein, wie wenn ich einen der beiden Vektoren transformiere (transponiere) und ihn dann somit multiplizieren?

Schaue Dir bitte zunächst mal an, wie Matrizen-Multiplikation im Prinzip funktioniert, bevor Du hier weiter liest!

Eine Matrix habe \(n\) Zeilen und \(m\) Spalten. Dann sei sie eine \(n \times m\)-Matrix. Man kann nur zwei Matrizen \(n_1 \times m_1\) und \(n_2 \times m_2\) multiplizieren, wenn \(m_1 = n_2\) ist. Ein Vektor ist nichts anderes wie eine Matrix mit einer Spalte.

Liegt also ein Vektor von \(3 \times 1\) vor, so kann ich den nur mit einem anderen Vektor \(3 \times 1\) multiplizieren, wenn ich einen von beiden transponiere - heißt ihn zu einen \(1 \times 3\)-Vektor machen. Z.B. $$\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}1& 2& 3\end{pmatrix}$$Transponiere ich den ersten der beiden ergibt das das Skalarprodukt$$\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1& 2& 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6$$Das Ergebnis ist ein Skalar (eine Zahl) - daher der Name.

Transponiert man den zweiten der Vektoren im Produkt, so erhält man das sogenannte Dyadische Produkt:$$\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4& 5& 6\end{pmatrix} \\ \quad = \begin{pmatrix}1\cdot 4& 1\cdot5& 1\cdot6\\ 2\cdot 4& 2\cdot5& 2\cdot6\\ 3\cdot 4& 3\cdot5& 3\cdot6\end{pmatrix}$$und das ist eine quadratische Matrix.

Beziehungsweise habe ich ein zu einfaches Verständnis von Vektoren und Matrizen

... eher ein zu kompliziertes! ;-) Vektoren und Matrizen sind im Grunde nur tabellarische Anordnungen von Zahlen, oder anderen Elementen.

... verstehe ich nicht den Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt und dieser Gleichung:
\(\frac{\partial e}{\partial s} = 2(sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x)r_{gx} + 2(sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y)r_{gy} + 2(sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z)r_{gz}\)

Substituiere:$$sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x = a\\ sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y = b\\ sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z = b$$und weiter$$r_{gx} = x, \quad r_{gy}=y, \quad r_{gz} = z$$dann steht doch da:$$2(sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x)r_{gx} + 2(sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y)r_{gy} + 2(sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z)r_{gz} \\ \space = 2ax + 2by + 2cz \\\space = 2(ax + by + cz) \\ \space = 2 \cdot \begin{pmatrix}a& b& c\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$$was das Skalarprodukt zweier Vektoren ist. Es ist wirklich nur eine andere Schreibweise!

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Okay vielen dank!

Es "fühlte" sich nur einfach nicht "richtig" an, eine Gleichung bestehend aus Vektoren für die Zeilen x,y und z aufzuteilen und einfach zu addieren.

Also es geht mir um den Schritt von:

\(e(s,t) = (s\cdot \vec r_g - t\cdot \vec r_h - \Delta \vec p)^2 \)

zu:

\(e(s,t) = (sr_{gx} - tr_{hx}- \Delta p_x)^2 + (sr_{gy} - tr_{hy}- \Delta p_y)^2 + (sr_{gz} - tr_{hz}- \Delta p_z)^2\)

Bei dieser Stelle bin ich mir unsicher, wie ihr erklärtes Prinzip dabei läuft.

Es tut mir wirklich leid, dass ich bei diesem Thema eventuell etwas "schwerfällig" bin.

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Gerade weil ja:

\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)

≠

\( \begin{pmatrix} a & b\end{pmatrix} \) + \( \begin{pmatrix} c & d\end{pmatrix} \)

beziehungsweise:

\((\vec r_g - \vec r_h)^2 \) == \( \begin{pmatrix} (r_{gx} - r_{hx})^2\\(r_{gy} - r_{hy})^2 \\(r_{gz} - r_{hz})^2 \end{pmatrix} \)

≠:

\((r_{gx} - r_{hx})^2+(r_{gy} - r_{hy})^2 +(r_{gz} - r_{hz})^2 \)

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Es tut mir wirklich leid, dass ich bei diesem Thema eventuell etwas "schwerfällig" bin.

Gut, dann ziehe ich das mal ganz anders auf. Nehmen wir doch mal einen Vekor im Raum:

$$v = \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}$$Dieses Ding 'Vektor' ist eine gerichtete Größe. In der Physik werden damit z.B. Geschwindigkeiten, Kräfte oder auch Feldlinien beschrieben.

Wenn Du aber wissen möchtest wie lang der Vektor ist, also wissen möchtest wie schnell ein Auto, wie groß die Kraft oder wie ausgeprägt eine Feldlinie an einer bestimmten Stelle ist, dann benötigst Du die Länge \(l\) des Vektors. Und diese Länge berechnet sich (nach Pythagoras!) aus der Wurzel der Quadratesumme der Koordinaten. Hier:$$l =|\vec v| = \sqrt{1^2 + 2^2 +3^2}$$Wenn Du den Pythagoras da nicht siehst, versuche es bitte mal mit einem Vektor in der Ebene!

Diese Quadratesumme ist aber identisch zum Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst:$$|\vec v| = \sqrt{\vec v^2}= \sqrt{\vec v^T \cdot \vec v} \\ \quad= \sqrt{\begin{pmatrix}1& 2& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}} =\sqrt{1^2 + 2^2 +3^2} $$In der Praxis wird dieses \({}^T\) beim ersten Vektor oft weg gelassen. Du wirst sicher häufiger \(\vec a \vec b\) lesen als \(\vec a^T \vec b\) lesen. Aber gemeint ist immer das zweite.

In unseren konkreten Fall ist ein Vektor \(\vec d\) von einem Punkt der Geraden zu einem Punkt auf der anderen Geraden, die Differenz dieser beiden Punkte:$$\vec d = \vec g(s) - \vec h(t) = s\vec r_g - t\vec r_h - \Delta \vec p$$Was nun interessiert, ist die Länge von \(\vec d\). Es soll ja die Stelle gefunden werden, an der die Länge von \(\vec d\) und damit der Abstand zwischen den Geraden minimal wird. Folglich betrachten wir$$|\vec d| = \sqrt{\vec d^2}$$Und da das Maximum der Wurzel auch das Maximum des Quadrats ist, betrachten wir der Einfachheit halber nur das Quadrat:$$|\vec d|^2 = \vec d^2 = e(s,t)$$Und die Berechnung der Quadratesumme ändert sich dadurch ja nicht. Also ist$$e(s,t) = d_x^2 + d_y^2 + d_z^2$$Und jetzt setze für \(d_x\), \(d_y\) und \(d_z\) wieder die Ausdrücke \(s\vec r_{gx} - t\vec r_{hx} - \Delta \vec p_{x}\), \(s\vec r_{gy} - t\vec r_{hy} - \Delta \vec p_{y}\) und \(s\vec r_{gz} - t\vec r_{hz} - \Delta \vec p_{z}\) ein. Und damit kommst Du zu dieser Gleichung oben.

beziehungsweise:
\((\vec r_g - \vec r_h)^2 \) == \( \begin{pmatrix} (r_{gx} - r_{hx})^2\\(r_{gy} - r_{hy})^2 \\(r_{gz} - r_{hz})^2 \end{pmatrix} \)

Nein - die Gleichung ist Unsinn! \((\vec r_g - \vec r_h)^2 \) ist das Quadrat der Länge der Differenz von \(\vec r_g\) und \(\vec r_h\). Und eine Länge, bzw. das Quadrat einer Länge, ist kein Vektor!

\((\vec r_g - \vec r_h)^2 \) 
≠:
\((r_{gx} - r_{hx})^2+(r_{gy} - r_{hy})^2 +(r_{gz} - r_{hz})^2 \)

Nein - das ist gleich. Das ist simpler Pythagoras!

Bitte bitte schau Dir noch mal die Matrizenmultiplikation an. In der Addition werden die Koordinaten der Vekoren jeweils addiert $$\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 +4\\ 2+5\\ 3+6\end{pmatrix}$$Bei der Muliplikation ist das nicht(!) so.

So eine Multiplikation:$$\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = \text{undefiniert!}$$gibt es gar nicht. Es gibt aber das Skalarprodukt$$\begin{pmatrix}1& 2& 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = 1\cdot 4 + 2\cdot 5 + 3\cdot 6$$Und genauso ist$$\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}u& v\\ w& x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}au+bw& av+bx\\ cu+dw& cv+dx\end{pmatrix}$$Jedes Element des Produkts rechts ist das Skalarprodukt eines Zeilenvektors der ersten Matrix mit eine Spaltenvektor der zweiten Matrix$$\begin{array}{cc}{}& \begin{pmatrix}u\quad& \quad{\color{red}v}\\ {w}\quad& \quad{\color{red}x}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}{\color{red}a}& {\color{red}b}\\ c& d\end{pmatrix}& \begin{pmatrix}{\color{grey}au+bw}& {\color{red}av+bx}\\ {\color{grey} cu+dw}& {\color{grey}cv+dx}\end{pmatrix}\end{array}$$Also hier ist $$\begin{pmatrix}a& b\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}v\\ x\end{pmatrix} = av+bx$$Schau Dir mal ein Video über Matrizenmultiplikation an.

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Okay vielen, vielen Dank.

Ich denke jetzt habe ich es verstanden und werde es gleich ausprobieren.

Nur noch eine Kleinigkeit:

Sie meinten, man könnte zwei Vektoren nicht so multiplizieren...

\(\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix}\)

... oder bezieht sie ihre Aussage nur auf den Bereich des Skalarprodukts etc.?

Denn im Unterricht wird das allerdings doch genauso gemacht.

Das eben:

\(\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot4\\ 2\cdot5\\ 3\cdot6\end{pmatrix}\)

Und:

\(\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1+4\\ 2+5\\ 3+6\end{pmatrix}\)

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Denn im Unterricht wird das allerdings doch genauso gemacht.

Das eben:$$\begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 5\\ 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot4\\ 2\cdot5\\ 3\cdot6\end{pmatrix}$$

Das ist ... vorsichtig ausgedrückt .. sehr(!) ungewöhnlich

Es kann natürlich sein, dass man Zahlen mit wiederkehrenden Algorithmen so anordnen, dass dies dabei heraus kommt. Irgendwelche Tabellen vielleicht. Das hat aber rein gar nichts mit Vektorechnung zu tun. Das wären dann auch keine Vektoren im Sinne der Linearen Algebra.

Nenne mir bitte mal eine Aufgabe, wo sowas drin vorkommt.

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Ehrlich gesagt bin ich gerade etwas erschüttert.

Ohne zu übertreiben, muss ich gleich noch einmal vieles überdenken, was ich glaubte bisher zu wissen.

Aber Dankeschön!

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Ich habe mal danach im Internet gesucht. 0 Treffer! Wobei ich nicht weiß, wie sowas heißt. Hat das einen speziellen Namen?

... hast Du dazu mal eine Aufgabe oder irgendein Beispiel, wo so ein komische Multiplikation drin vorkommt?

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Okay es ist mein Fehler. Ich habe mich geirrt. Ich bin nur immer davon ausgegangen und habe tatsächlich bis vor ihrem Kommentar immer, wenn zwei Vektoren hintereinander standen, diese als eine solche Multiplikation wahr genommen.

Das war sogar noch bei ihrer abstrakten Rechnung der Fall.

(\(\begin{pmatrix} \vec r_g^2 & -\vec r_h \vec r_g \\ \vec r_g \vec r_h & -\vec r_h^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} s\\t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_g\\ (\vec p_h - \vec p_g) \vec r_h \end{pmatrix}\) )

(\(\vec r_h \vec r_g\))!

Jetzt habe ich es aber hoffentlich ein für alle Mal verstanden.