Aloha :)
Die Integratiom im Komplexen ist im wahrsten Sinne des Wortes etwas komplexer. Da wir in 2 Dimensionen sind (Real-Achse und Imagniär-Achse) gibt es unendlich viele Wege, wie man von einem komplexen Punkt zu einem anderen wandern kann. Daher ist das Integral im Komplexen an die Definition von 2-dimensionalen Kurvenintegralen angelehnt. Eine Stammfunktion exisitiert, wenn alle möglichen Wege zwischen 2 Punkten zum gleichen Integral-Ergebnis führen.
Da man bei den meisten Aufgaben dieser Art zeigen soll, ob die Funktion integrierbar ist oder nicht, und im positiven Fall das Integral auch noch berechnen soll, empfehle ich gerne folgende Vorgehensweise. Man berechnet das Integral für einen ausgewählten Weg von einem beliebigen Startpunkt, z.B. \(0+i0\), bis zu einem variablen komplexen Endpunkt \(x+iy\). Anschließend leitet man das Ergebnis ab und schaut, ob der Integrand als Ergebnis herauskommt.
Ich führe das einfach mal für deine Aufgabe hier vor...
Mein ausgesuchter Weg \(C\) führt von \(0+i0\) nach \(x+iy\) entlang der Achsen der Gaußschen Zahlenebene:
$$C:\;z(t)=\left\{\begin{array}{c}xt&t\in[0;1[\\x+iy(t-1)&t\in[1;2]\end{array}\right.$$
Das Integral entlang dieses Weges ist nun:
$$\int\limits_C\frac{1}{z^2+1}\,dz=\int\limits_0^2\frac{1}{z(t)^2+1}\,\frac{dz(t)}{dt}\,dt$$$$=\int\limits_0^1\frac{1}{(xt)^2+1}\,x\,dt+\int\limits_1^2\frac{1}{(x+iy(t-1))^2+1}\,iy\,dt$$
Wir substituieren:$$u(t):=xt\;\;;\;\;\frac{du}{dt}=x\;\;\Rightarrow\;\;x\,dt=du\;\;;\;\;u(0)=0\;\;;\;\;u(1)=x$$$$v(t):=x+iy(t-1)\;\;;\;\;\frac{dv}{dt}=iy\;\;\Rightarrow\;\;iy\,dt=dv\;\;;\;\;v(1)=x\;\;;\;\;v(2)=x+iy$$Und rechnen das Integral weiter:$$=\int\limits_0^x\frac{1}{u^2+1}\,du+\int_x^{x+iy}\frac{1}{v^2+1}\,dv$$$$=\arctan(x)-\arctan(0)+\arctan(x+iy)-\arctan(x)=\arctan(x+iy)$$
Da \(x\) und \(y\) frei wählbar waren, können wir \(z=x+iy\) beliebigt setzen und erhalten für den Weg entlang der Koordinatenachsen:$$\int\limits_0^z\frac{1}{\tilde z^2+1}\,d\tilde z=\arctan(z)$$und als möglichen Kandidaten für eine Stammfunktion:
$$\int\frac{1}{z^2+1}\,dz=\arctan(z)+\text{const.}$$
Wenn du diese Stammfunktion nun komplex ableitest, stellst du fest, dass:
$$\frac{d}{dz}\arctan(z)=\frac{1}{z^2+1}$$
Damit existiert das Integral und die Stammfunktion haben wir auch schon angegeben.
