Beweis zur Konvergenz (mit Norm und zwei Folgen)

Question

ich weiß nicht wie ich diesen Beweis führen soll un bruchte deshal unterstützung.

Die Aufgabe lautet:

Seien (a_k)_{k in N}, (b_k)_{k in N}  Folgen in einem normierten Raum (X, ||*||) sowie a in X. Gelte weiter: \( \lim\limits_{k\to\infty} \) a_k= a

Zu zeigen ist:

\( \lim\limits_{k\to\infty} \)  || a_k-b_k|| = 0 ⇒ \( \lim\limits_{k\to\infty} \) b_k= a

Also nach der Folgenkonvergenz muss gelten:

||| a_k-b_k|| -0| <ε 

|a_k-a|<ε

aber weiter komme ich nicht.

Bin für jede Unterstützung dankbar.

Answer 1

Wegen $$  \lim_{k\to\infty} \|  a_k - b_k \| = 0 $$ ex. \( k_0 \) s.d.für alle \( k > k_0 \) gilt $$ \|  a_k - b_k \| < \frac{\epsilon}{2}  $$ und wegen $$ \lim_{k\to\infty} a_k = a  $$ ex. \( k_1 \) s.d. für alle \( k > k_1 \) gilt $$  \| a_k - a \| < \frac{\epsilon}{2} $$ und zwar für alle \( \epsilon > 0 \).

Daraus folgt für \( k > \max{ (k_0,k_1) } \) $$ \| b_k -a \| = \| b_k - a_k + a_k -a \| \le \| b_k - a_k \| + \| a_k - a \| < \epsilon  $$

Comments

Danke für die Antwort.

Hätte eine NAchfrage und zwar warum nimmst du beim zweiten "ex. k₁ s.d. für alle k>k₁ gilt"

k₁ und nicht wie davor k_0?

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Das sind zwei verschiedene Folgen. Also müssen die \( k's \) niht gleich sein.

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Achso ok.

Danke dir.

Aber da du gesagt hast, dass sie nicht gleich sein müssen heißt dass das die auch gleich sein dürfen oder?

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Das kann sein.