Aufgabe:
$$ \begin{array}{l}{\text { Es seien } x_{\min } \text { und } x_{\max } \text { die betragsmäßig kleinste }(\neq 0) \text { und größte Zahl in } \mathrm{M}(b, l, m) .} \\ {\text { Für eine Zal } x \in D:=\left[-x_{\max },-x_{\min }\right] \cup\{0\} \cup\left[x_{\min }, x_{\max }\right), \text { dargestellt durch }} \\ {\qquad x=v_{M}\left(\sum_{i=1}^{\infty} \alpha_{i} \cdot b^{-i+1}\right) \cdot b^{v_{E} \sum_{i=1}^{m} \beta_{i}-b^{m-i}}}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { mit einer Basis } b \in \mathbb{N} \backslash\{1\}, v_{M}, v_{E} \in\{+,-\}, \alpha_{i}, \beta_{i} \in\{0,1, \ldots, b-1\}, \alpha_{1} \neq 0 \text { und }} \\ {\text { einem beliebigen } m \in \mathbb{N}, \text { ist die Reduktionsabbildung rd: } D \rightarrow \mathbb{M}(b, l, m) \text { mit } l \in \mathbb{N}} \\ {\text { definiert durch }} \\ {\qquad \operatorname{rd}(x):=\left\{\begin{array}{ll}{v_{M}\left(\sum_{i=1}^{l} \alpha_{i} \cdot b^{-i+1}\right) \cdot b^{v_{E}} \sum_{i=1}^{m} \beta_{i} \cdot b^{m-1},} & {\text { falls } \alpha_{l+1}<C} \\ {v_{M}\left(\sum_{i=1}^{l} \alpha_{i} \cdot b^{-i+1}+b^{-l+1}\right) \cdot b^{v_{E}} \sum_{i=1}^{m} \beta_{i} b^{m-i}} & {\text { falls } \alpha_{l+1} \geq C}\end{array}\right.}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { wobei } C \in\{0,1, \ldots, b-1\} .} \\ {\text { a) Geben Sie die Konstante } C \text { in Abhängigkeit von } b \in \mathbb{N} \backslash\{1\} \text { an, solass rd }(x) \text { die }} \\ {\text { Rundung bzgl. der Betragsmetrik) von } x \in D \text { auf die nächstgelegene Mantisse- }} \\ {\text { nzahl beschreibt. Bei zwei Maschinenzahlen mit gleichem Abstand zu } x \text { werde }} \\ {\text { die größere Maschinenzahl gewählt. }}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { b) Es sei } x \in D \text { und } \operatorname{rd}(x) \in \mathbb{M}(10, l, 1), \text { wobei } l \in \mathbb{N} . \text { Geben Sie den maximalen }} \\ {\text { absoluten Rundungsfehler in Abhängigkeit von } l \text { für } x \in D \text { an. }}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { c) Betrachten Sie nun die Teilmenge }} \\ {\qquad M:=\left\{v_{M} \alpha_{1} \cdot \alpha_{2} \alpha_{3} \cdot 10^{0}: \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in\{0,1, \ldots, 9\}\right\} \subset \mathbb{M}(10,3,1)} \\ {\text { Es sei nun } x \in M \text { und } \operatorname{rd}(x) \in \mathbb{M}(10,2,1) . \text { Wie groß ist der absolute Rundungs- }} \\ {\text { fehler }|\operatorname{rd}(x)-x| \text { maximal? Unterscheidet sich das Ergebnis von Ihrer Antwort }} \\ {\text { in Teilaufgabe b)? }}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { d) Es seien die Zahlen } x_{1}=\frac{1}{3}, x_{2}=\sqrt{2}, x_{3}=\exp (-10), x_{4}=\exp (10) \text { und } x_{5}=\frac{1}{10}} \\ {\text { gegeben. }} \\ {\text { Geben Sie die Reduktionsabildungen rd }\left(x_{i}\right) \text { für } i=1, \ldots, 5 \text { in einem Gleitpunkt- }} \\ {\text { Zahlensystem mit der Basis } b=10, \text { Mantissenlänge } l=6 \text { und Exponentenlänge }} \\ {m=1 \text { an. }}\end{array} $$ $$ \begin{array}{l}{\text { e) Geben Sie den relativen Rundungsfehler }\left|\frac{\operatorname{rd}\left(x_{i}\right)-x_{i}}{x_{i}}\right| \text { für die Fälle aus Aufgabenteil }} \\ {\text { d) möglichst genau an. }} \\ {\text { Geben Sie außerdem die (relative) Maschinengenauigkeit eps für den Fall aus }} \\ {\text { Aufgabenteil d) an. }}\end{array} $$
Problem/Ansatz:
Kein Ansatz, da ich die Formel für x nicht ganz verstehe, wie man auf die Werte kommt und, was es mit der Reduktionsfunktion auf sich hat, ne Erklärung wäre gut und wie ich vorgehen muss. Danke
