Parallelogramm: Eigenschaften mit Skalarprodukt zeigen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei ein Parallelogramm ABCD wobei die Punkte entgegen dem Uhrzeigersinn benannt sind.

Zeigen sie mit Hilfe des Skalarproduktes folgende Eigenschaft.

||AB||²+||BC||²+||DC||²+||AD||²=||AC||²+||BD||².

über allen Buchstabenpaaren ist ein Vektorpfeil, welcher nach rechts zeigt.

Comments

Das geht auch elementargeometisch:

Berechne \( | \vec{AC} | \) und \( | \vec{BD} | \) mit dem Kosinussatz und setze ein. Bedenke, dass β+γ=180° und \( | \vec{AB} | = | \vec{CD} | \) sowie \( | \vec{BC} | = | \vec{AD} | \).  

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Vielen dank für die Hilfe, nur muss ich das mit dem Skalarprodukt berechnen und nicht mit dem Kosinussatz. Wie funktioniert das mit dem Skalarprodukt?

Answer 1

Vielleicht so:

||AC||²+||BD||²=||AB+BC||²+||DC-AD||²
=||AB||²+2⟨AB,BC⟩+||BC||²+||DC||²-2⟨DC,AD⟩+||AD||².

Für zwei Vektoren x,y gilt:

||x+y||²=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=||x||²+2⟨x,y⟩+||y||².

Answer 2

\(\vec{a}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)

\(\vec{b}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)

\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AC}\)

\(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{DB}\)

\(||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{BD}||^2 \)

    \(= (\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{a}-\vec{b})^2\)

    \(= \vec{a}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2+\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2\)
    \(=2\vec{a}^2+2\vec{b}^2\)

\(=||\overrightarrow{AB}||^2+||\overrightarrow{BC}||^2+||\overrightarrow{DC}||^2+||\overrightarrow{AD}||^2\)

Answer 3

\(\vec{a}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)

\(\vec{b}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\)

\(\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{AC}\)

\(\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{DB}\)


\(||\overrightarrow{AC}||^2+||\overrightarrow{BD}||^2 \)

    \(= (\vec{a}+\vec{b})^2+(\vec{a}-\vec{b})^2\)

    \(= \vec{a}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2+\vec{a}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}^2\)
    \(=2\vec{a}^2+2\vec{b}^2\)

\(=||\overrightarrow{AB}||^2+||\overrightarrow{BC}||^2+||\overrightarrow{DC}||^2+||\overrightarrow{AD}||^2\)