konvergenz und grenzwert bestimmen

Question

Untersuche die Folgen (xn) auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

x(n)=\( (-1)^{n} \)

x(n)=\( \frac{n^2-1}{n^2} \)

x(n)= \( \sqrt{n} \)

Answer 1

a) springt zw. 1 und -1 → keine Konvergenz

b) = 1+1/n^2 → Grenzwert = 1

c) strebt gegen unendlich, Wurzelfkt. ist streng monoton steigend

Answer 2

Zu (-1)^n:

Wir müssen zeigen, dass es kein x∈ℝ gibt mit x_n → x.
Fall 1: x≥0
Offenbar gilt |x_n - x|≥1 für alle ungeraden n , damit kann es beispielsweise für ε=1/2 kein N∈ℕ existieren, für das |x_n - x|≥1 für alle n≥N gilt.

Fall x≤0 analog.

Weiter ist \(\frac{n^2-1}{n^2}=1-\frac{1}{n^2}\to 1\), da \(1/n^2\) eine Nullfolge ist.