Wohlbefiniertheit, Konvergenz und Grenzwert bestimmen

Question

Aufgabe:

Eine Folge ( x _ { n } ) _ { n } werde rekursiv durch x _ { 0 } = 3, x _ { n + 1 } = \frac { 2 } { 3 } x _ { n } + \frac { 2 } { x _ { n } } . Beweisen sie die wohlbefiniertheit und die Konvergenz und bestimmen sie den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Guten Abend, ist vielleicht eine Nachteule noch online und kann mir bei den Aufgaben helfen?

Answer 1

Wohldefiniertheit könnte ja höchstens an einem x_n=0

scheitern. Man kann aber wohl zeigen (Induktion ?)

Es gilt immer x_n>0 und  9 > x_n^2 > 6.

Dann wäre ja x_n nach unten beschränkt durch √6.

Und wegen \( x_n - x_{n+1} = \frac{x_n^2 -6 }{3x_n} \)
ist diese Differenz immer positiv, also die Folge
monoton fallend und somit konvergent.

Wegen der Rekursion gilt für den Grenzwert g
g = 2g/3 + 2/g was g^2=6 und weil alles
positiv g=√6 ergibt.