Beweis mit Konvergenz (Lösungsweg überprüfen)

Question

Aufgabe:

Gibt es C > 0 und k₀ in N so, dass
∀k ≥ k₀ : ||b_k - a||< C||a_k - a||

so folgt \( \lim\limits_{k\to\infty} \) b_k =a

Problem/Ansatz:

Mein Lösungsweg:

\( \lim\limits_{k\to\infty}\) a_k = a

⇒ ||a_k -a||< ε/C

||b_k - a||< C||a_k - a||< C* ε/C= ε

⇒ ||b_k -a||< ε

Also: \( \lim\limits_{k\to\infty} \) b_k =a

Ist dieser Beweis vollständig und legitim?