Sei \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) definiert durch \(f(x)=x\chi_{x \in (-\infty,0]}x^2\chi_{x\in(0,2)}e^x \chi_{x \in [2,\infty)}\).
Wir betrechten die rechts- und linksseitigen Limiten:
\( \lim\limits_{x\nearrow 0} f(x) = \lim\limits_{x\nearrow 0} x = 0 = \lim\limits_{x\searrow 0} x^2 = \lim\limits_{x\searrow 0} f(x) \)
\( \lim\limits_{x\nearrow 2} f(x) = \lim\limits_{x\nearrow 2} x^2 = 4 \neq e^2= \lim\limits_{x\searrow 2} e^x = \lim\limits_{x\searrow 2} f(x) \)
\(\Rightarrow\) Die Funktion ist nicht stetig in \(x=2\), also nicht global stetig \(\square\)