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Integration mit Substitution

04x · x283dx \int \limits _{0}^{4} x · \sqrt[3]{x^{2}-8} d x

Die Lösung dazu ist:

3(x28)438+C \frac{3\left(x^{2}-8\right)^{\frac{4}{3}}}{8}+C

Muss ich da jetzt noch die Grenzen 0 und 4 einsetzten um das Integral zu berechnen?

0 eingetragen würde 6 ergeben und 4 eingetragen würde 0 ergeben.

Ist das so richtig gedacht?

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2 Antworten

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u=x2-8

du = 2x dx

Die Variable x muss durch u ersetzt werden, überall, auch dx, auch die Grenzen.

u(0)=-8 allerdings nicht erlaubt!

Int= \int\limits_{}^{} 1/2 u(1/3)

Avatar von 4,3 k
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Aloha :)

xx283dx=122x(x28)1/3dx=1234(x28)4/3=38(x28)4/3\int x\sqrt[3]{x^2-8}\,dx=\frac{1}{2}\int2x\left(x^2-8\right)^{1/3}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\left(x^2-8\right)^{4/3}=\frac{3}{8}\left(x^2-8\right)^{4/3}Die Stammfunktion stimmt. Allerdings habe ich ein Problem mit dem Einsetzen der Grenzen. Der Integrand xx283x\sqrt[3]{x^2-8} ist nur definiert für x28x^2\ge8 bzw. x22x\ge2\sqrt2 oder x22x\le-2\sqrt2. Daher ist das Integral von 00 bis 44 in R\mathbb{R} nicht definiert.

Avatar von 152 k 🚀

Wegen deiner o.g. Bedenken solltest du wohl die Grenzen bei deinem 2. Integral auch wegeditieren.

Danke für den Hinweis...

War beim Copy-Paste stehen geblieben. Habe es korrigiert.

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