Question

Integration mit Substitution

\( \int \limits _{0}^{4} x · \sqrt[3]{x^{2}-8} d x \)

Die Lösung dazu ist:

\( \frac{3\left(x^{2}-8\right)^{\frac{4}{3}}}{8}+C \)

Muss ich da jetzt noch die Grenzen 0 und 4 einsetzten um das Integral zu berechnen?

0 eingetragen würde 6 ergeben und 4 eingetragen würde 0 ergeben.

Ist das so richtig gedacht?

Answer 1

u=x²-8

du = 2x dx

Die Variable x muss durch u ersetzt werden, überall, auch dx, auch die Grenzen.

u(0)=-8 allerdings nicht erlaubt!

Int= \( \int\limits_{}^{} \) 1/2 u^(1/3)

Answer 2

Aloha :)

$$\int x\sqrt[3]{x^2-8}\,dx=\frac{1}{2}\int2x\left(x^2-8\right)^{1/3}\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\left(x^2-8\right)^{4/3}=\frac{3}{8}\left(x^2-8\right)^{4/3}$$Die Stammfunktion stimmt. Allerdings habe ich ein Problem mit dem Einsetzen der Grenzen. Der Integrand \(x\sqrt[3]{x^2-8}\) ist nur definiert für \(x^2\ge8\) bzw. \(x\ge2\sqrt2\) oder \(x\le-2\sqrt2\). Daher ist das Integral von \(0\) bis \(4\) in \(\mathbb{R}\) nicht definiert.

Comments

Wegen deiner o.g. Bedenken solltest du wohl die Grenzen bei deinem 2. Integral auch wegeditieren.

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Danke für den Hinweis...

War beim Copy-Paste stehen geblieben. Habe es korrigiert.