Konvergenz einer Folge mit Epsilon

Question

Aufgabe:

Die Folge
$$ \left(a_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}=\left(\frac{k^{2}-5 k+7}{2 k^{2}+1}\right)_{k \in \mathbb{N}} $$
konvergiert gegen \( \frac{1}{2} . \) Bestimmen sie einen Ausdruck für \( n=n(\epsilon), \) sodass für alle \( k \geq n(\epsilon) \) gilt:
$$ \left|a_{k}-c\right| \leq \epsilon $$

Problem/Ansatz:

Habe erstmal | ak - 1/2| gerechnet, da kommt dann raus |(-5k-(13/2)/(2k^2+1)| =< epsilon aber wie mache ich jetzt weiter.

Was ist der genaue Sinn hinter dieser Aufgabe? Will ich damit beweisen das die Folge für alle k aus des natürlichen Zahlen konvergiert?

Answer 1

| a_k - 1/2 | = | (13-10k)/(4k^2 + 2 ) | <  | (13-10k)/  (4k^2 ). |

 denn 4k^2 + 2 ist größer als   4k^2 .  Und weiter gilt

| (13-10k)/4k^2  |  =  | (13-10k)  |  /  (4k^2  ).

Und es ist für alle k ∈ ℕ sicherlich   | (13-10k)  | < 10k .

Also reicht es zu bestimmen, wann 10k /   (4k^2  )  =  10/(4k)

kleiner als eps ist.   10/(4k)  < eps

                                 10/eps < 4k

                                  2,5 / eps < k

Also könnte man nehmen:   n(eps) = die erste nat. Zahl, die größer

als   2,5 / eps  ist. So etwas gibt es nach dem Axiom des Archimedes.