Gegeben ist f: [0,∞[→R, mit x→\( \frac{x^2+1}{x^2+2} \)
a)Zeige f streng monoton das habe ich gezeigt durch x,y ∈ [0,∞[ , wenn x>y, muss auch f(x)>f(y), was stimmt
b) Zeigen Sie infx∈[0,∞[ f(x) = 1/2
c) Zeigen Sie supx∈[0,∞[ f(x) = 1
Inf und Sup haben wir nicht besprochen, es verwirrt mich etwas, wie ich das zeigen soll.
Ich würde gerne wissen ob mein Ansatz ok ist und wenn ja, ob die Interpretation der Ergebnisse richtig ist und es somit bewiesen wurde
Ansatz für inf: f(x) >= 1/2 → x^2>=-4 → also Ungleichung wahr für alle x>=-2 bzw. >=0 also wahr?
Ansatz für sup: f(x) <= 1 → -1<=0 → das ist wahr also gilt die Aussage?
d) Ist f beschränkt? Ja f ist beschränkt, wenn inf=1/2 ist und sup=1
e) Besitzt f ein Minimum bzw. ein Maximum? Also Minimum ist =1/2, Maximum besitzt es nicht, da der Wert 1 nur angenähert wird. Kann man das herleiten ohne jetzt extra die Ableitung usw zu bestimmen?
f) Argumentieren Sie, warum jeder Wert y ∈ [1/2,1[ angenommen wird.
Hier würde ich auch gerne wissen ob es einen Trick gibt, wie ich das aus den vorherigen Aufgaben vielleicht herleiten kann.
LG und
