Polynomdivision richtig anwenden (Komplexe Zahlen)

Question

Aufgabe und Lösungsversuch:

\( f(z)=z^{7}-2 z^{6}+5 z^{5}-8 z^{4}+7 z^{3}-6 z^{2}+3 z \quad | z_0 = i; z_1 = 1 \)
\( f(0)=z^{6}-2z^5+5z^4 - 8z^{3}+7z^{2}-6z+3\)
\(  | (z+i)(z-i) = z^2 + 1 \)

\( \left(z^{6}-2z^{6}+5z^{4}-8z^{3}+7z^{2}-6z+3\right) : (z^2 + 1) = z^4 \)
\( \underline{-(z^6 + z^4)} \)
\( \qquad -2z^5 + 5z^4 \)

Kommt da wirklich -2z⁹ raus oder habe ich mich verrechnet

Die erste Nullstelle ist ja ganz einfach uns zwar f(0) wenn ich dann die Polynomdivision mache wird jeweils die Potenz um 1 verringert '(z-0)'.

Die nächste Nullstelle i ∈ ℂ wollte ich danach berechnen nur kommt wieder so eine hohe Potenz vor.

Answer 1

du musst beim Subtrahieren die gleichen x-Potenzen untereinander schreiben:

(z^7  - 2z^6  + 5z^5  - 8z^4  + 7z^3          + 3z    ) : (z^2 + 1)  =  z^5 - 2z^4 + 4z^3 - 6z^2 
 z^7          +  z^5                                                          + 3z + 6  Rest  -6                                                               
 ——————————————————————————————————————————————————————
      - 2z^6  + 4z^5  - 8z^4  + 7z^3          + 3z    
      - 2z^6          - 2z^4                          
      —————————————————————————————————————————————————
                4z^5  - 6z^4  + 7z^3          + 3z    
                4z^5          + 4z^3                  
                ———————————————————————————————————————
                      - 6z^4  + 3z^3          + 3z    
                      - 6z^4          - 6z^2          
                      —————————————————————————————————
                                3z^3  + 6z^2  + 3z    
                                3z^3          + 3z    
                                ———————————————————————
                                        6z^2          
                                        6z^2        + 6
                                        ———————————————
                                                    - 6
 

Nachtrag: 

Dieser Online-Rechner hilft dabei:

http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

Gruß Wolfgang

Answer 2

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

(z^6  - 2z^5  + 5z^4  - 8z^3  + 7z^2  - 6z  + 3) : (z^2 + 1)  =  z^4 - 2z^3 + 4z^2 - 6z + 3  
 z^6          +  z^4                          
 ——————————————————————————————————————————————
      - 2z^5  + 4z^4  - 8z^3  + 7z^2  - 6z  + 3
      - 2z^5          - 2z^3                  
      —————————————————————————————————————————
                4z^4  - 6z^3  + 7z^2  - 6z  + 3
                4z^4          + 4z^2          
                ———————————————————————————————
                      - 6z^3  + 3z^2  - 6z  + 3
                      - 6z^3              - 6z    
                      —————————————————————————
                                3z^2        + 3
                                3z^2        + 3
                                ———————————————
                                              0