Gesucht ist eine Matrix, deren Kern eine Ebene ist

Question

Hallo liebe Mathefans,

normalerweise hat man ja eine Matrix und kann dann den Kern dafür berechnen. Jetzt habe ich das umgekehrte Problem. Ich soll eine Matrix angeben, deren Kern die folgende Ebene ist.

\(s\cdot(0,1,2)^t+t\cdot(3,2,1)^t\)

Ich habe das so herum noch nie berechnet und auch keine wirkliche Idee.

Darf ich mein Problem zu eurem machen?

Freue mich über jede Hilfe...

Answer 1

Aloha :)

Wegen der Linearität reicht es aus, eine Matrix zu finden, deren Zeilenvektoren multipliziert mit den Richtungsvektoren der Ebene zu Null werden. Da die Zeilenvektoren auf beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen müssen, bietet sich das Vektorprodukt der Richtungsvektoren als Zeilenvektor an:

$$\left(\begin{array}{c}0\\1\\2\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}3\\2\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\cdot1-2\cdot2\\2\cdot3-0\cdot1\\0\cdot2-1\cdot3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\6\\-3\end{array}\right)$$Jetzt kannst du Vielfache von diesem Vektorprodukt als Zeilenvektoren in die gesuchte Matrix schreiben, zum Beispiel:$$M=\left(\begin{array}{c}-3&6&-3\\-1&2&-1\end{array}\right)$$Die Matrix ist natürlich nicht eindeutig. Du kannst bestimmt weitere finden ;)

Comments

Ja, völlig klar... Wenn man das liest, ist es so einfach. Aber ich bin einfach nicht darauf gekommen.

Danke dir!