Bildmengen aus der Komposition zweier Funktionen bilden

Question

Aufgabe:

f: ℤ→ℕ mit f(x) = x²+1

g: ℕ → ℝ mit g(y) = Wurzel(y)

Bildmengen ermitteln:

i)  g ° f (2^k : k ∈  {0,1,2,3})

ii) g°f^-1((-2,10))

Problem/Ansatz

für i) hab ich mir gedacht g ring f = g(f(x)) also Wurzel(x²+1) und für x setzt ich ja dann quasi 2^k ein für k=0,1,2,3 da würd mir jeweils die Wurzel aus 2,5,17 und 65 rauskommen

bei ii) hab ich jedoch jetzt ein Problem weil da müsste ich ja lt. definition des Urbilds die x werte rausbekommen sodass die Lösungen von -2 bis 10 sind aber um als Lösung -2 rauszubekommen müsst eine negative Wurzel ziehen und das geht weder in N,Z noch R oder versteh ich irgendwas grundsätzlich falsch?

lg.

Answer 1

Aloha :)

$$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N},x\mapsto x^2+1\quad;\quad g:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{R},x\mapsto\sqrt x$$Die Hintereinanderausführung von zuerst \(f\) und dann \(g\) ist hier "sauber" möglich, denn \(f\) liefert immer natürliche Zahlen \(\in\mathbb{N}\), und diese bilden die Definitonsmenge von \(g\). Daher hast du bei (i) völlig korrekt angegeben:

$$g\circ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R},x\mapsto\sqrt{x^2+1}$$Bei (ii) haben wir nun das Problem, dass \(f\) nicht injektiv ist, denn es bilden z.B. die Werte \(\{-1;+1\}\) auf dasselbe Bild ab: \((\pm1)^2+1=2\) ab. \(f\) ist auch nicht surjektv, denn sie bildet ja nur auf die Quadratzahlen plus 1 ab, so wird z.B. die 3 aus der Bildmenge nie erreicht. Mit anderen Worten, \(f\) ist nicht umkehrbar.

Ich weiß nicht, wie ihr das im Unterricht behandelt habt. Du könnstest zeigen, dass für die \(10\) die Umkehrfunktion "zufälllig" exisitert, aber für die \(-2\) eben nicht.

Comments

Vielen dank sehr verständlich erklärt!!