Bildmengen aus der Komposition zweier Funktionen bilden

Question

Aufgabe:

f: ℤ→ℕ mit f(x) = x²+1

g: ℕ → ℝ mit g(y) = Wurzel(y)

Bildmengen ermitteln:

i)  g ° f (2^k : k ∈  {0,1,2,3})

ii) g°f^-1((-2,10))

Problem/Ansatz

für i) hab ich mir gedacht g ring f = g(f(x)) also Wurzel(x²+1) und für x setzt ich ja dann quasi 2^k ein für k=0,1,2,3 da würd mir jeweils die Wurzel aus 2,5,17 und 65 rauskommen

bei ii) hab ich jedoch jetzt ein Problem weil da müsste ich ja lt. definition des Urbilds die x werte rausbekommen sodass die Lösungen von -2 bis 10 sind aber um als Lösung -2 rauszubekommen müsst eine negative Wurzel ziehen und das geht weder in N,Z noch R oder versteh ich irgendwas grundsätzlich falsch?

lg.

Answer 1

Aloha :)

$$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{N},x\mapsto x^2+1\quad;\quad g:\mathbb{N}\mapsto\mathbb{R},x\mapsto\sqrt x$$Die Hintereinanderausführung von zuerst $f$ und dann $g$ ist hier "sauber" möglich, denn $f$ liefert immer natürliche Zahlen $\in\mathbb{N}$, und diese bilden die Definitonsmenge von $g$. Daher hast du bei (i) völlig korrekt angegeben:

$$g\circ f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R},x\mapsto\sqrt{x^2+1}$$Bei (ii) haben wir nun das Problem, dass $f$ nicht injektiv ist, denn es bilden z.B. die Werte $\{-1;+1\}$ auf dasselbe Bild ab: $(\pm1)^2+1=2$ ab. $f$ ist auch nicht surjektv, denn sie bildet ja nur auf die Quadratzahlen plus 1 ab, so wird z.B. die 3 aus der Bildmenge nie erreicht. Mit anderen Worten, $f$ ist nicht umkehrbar.

Ich weiß nicht, wie ihr das im Unterricht behandelt habt. Du könnstest zeigen, dass für die $10$ die Umkehrfunktion "zufälllig" exisitert, aber für die $-2$ eben nicht.

Comments

Vielen dank sehr verständlich erklärt!!