Aufgabe:
Ein extremes Ereignis kommt alle \( n \in \mathbb{N} \) Jahre vor. Wir modellieren die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ereignis in einem Jahr passiert mit 1/n und nehmen an, dass diese extremen Ereignisse unabhängig sind. Es sei \( X:\{0, \ldots, n\} \rightarrow \mathbb{R} \) die Zufallsvariable, welche die Anzahl dieser Ereignisse inerhalb von \( n \) Jahren modelliert. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten
a) \( \mathbb{P}(X=0) \)
b) \( \mathbb{P}(X=1) \)
c) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \mathbb{P}(X=0) \)
Problem/Ansatz:
a)
$$ P(X=k)=f(k ; n, p)=\left(\begin{array}{c} {n} \\ {k} \end{array}\right) \cdot p^{k} \cdot(1-p)^{n-k} $$
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=0) \) \( =\left(\begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right) * \frac{1}{n} *\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-0} \) \( =1^{*} 1^{*}\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n} \equiv\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n} \)
b)
\( \mathrm{P}(\mathrm{X}=1) \) \( =\left(\begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right) * \frac{1}{n} *\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1} \) \( =n * \frac{1}{n} *\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1}=\left(\frac{n-1}{n}\right)^{n-1} \)
Frage:
Ich bin mir nicht sicher, ob ich richtig vorgehe oder ob man das Ergebnis noch weiter kürzen kann. Außerdem weiß ich nicht, was sich ändern, wenn n sehr groß wird? Exponentiell?
