Graphische Darstellung von Addition und Multiplikation komplexer Zahlen

Question

Ich bräuchte mal jemanden, der mir erklärt, ob ich die Aufgabe richtig bearbeitet habe. Sie lautet:

(a) Stellen Sie jeweils in (i) und (ii) die Addition und die Multiplikation der komplexen Zahlen z1, z2 ∈ C graphisch dar:

(i) z1 = 1/√5(2+i),          z2 = 3/2 + 2i

(ii) z1 = 1/√10(3-i),        z2 = -i

 

Zu z1)

Addition:

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

= (0.89 + 1,5) + i(1/√5 + 2)

= 2,39 + 2,45i

Dann habe ich 2,39 als x-Wert und 2,45 als y-Wert verwendet und den Punkt im Koordinatensystem eingezeichnet. Danach habe ich ebenfalls die z1 und z2 Ausgangs-Werte eingezeichnet. So habe ich es zumindest in einem Beispiel gesehen...

 

Multiplikation:

z1z2 = (x1 + iy1) (x2 + iy2) = x1x2 + ix1y2 + ix2y1 + i²y1y2

         = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + x2y1)                                                                                      [i² = -1]

= (0,89 + 1/√5i) (1,5 + 2i)

= 1,34 + 1,78i + 0,67i + 0,89i²

= 1,34 - 0,89 + i(1,78 + 0,67)

= 0,45 + 2,45i

Diese Werte habe ich genau wie bei den Werten der Addition eingezeichnet.

 

Jetzt frage ich mich aber, ob ich das denn überhaupt richtig gemacht habe?..

Außerdem wollte ich fragen, ob ich bei der Aufgabe als erste die Wurzel ziehen sollte?..:

(i) (1 - i / 1 + i)⁴      (ii) (1 + i)²ⁿ + (1 - i)²ⁿ (n ∈ N)

 

für die HIlfe.

Gruß, math.newbie

Answer 1

Um die Potenz des Bruches zu lösen, kannst du den Bruch auch einfach erweitern:



Hier benutzt du dann die binomischen Formeln, und du wirst eine sehr einfach zu berechnende Form erhalten.

Answer 2

Was ich ganz wichtig finde, dass du verstehst was die Addition und Multiplikation komplexer Zahlen geometrisch bedeutet.
Also nicht nur einfach einzeichnen sondern auch verstehen.

Aufgabe (i) hast du soweit richtig gerechnet. Bei der Multiplikation hast du den komplexen Teil allerdings falsch gerundet.

Bei der anderen Aufgabe würde ich zunächst die Basis der Potenz vereinfachen bzw. die Potenzen zusammenfassen.

Und dann würde ich die Erkenntnisse bzgl. der Multiplikation unter der ersten Aufgabe gewonnen hast nutzen um den zweiten Teil einfacher zu berechnen.

Answer 3

deine rechnung habe ich nicht überprüft, aber geometrisch kann man sich die addition und die subtraktion komplexer zahlen wie die addition und die subtraktion zweidimensionaler vektoren veranschaulichen.

hier findest du etwas zu diesem thema http://www-m10.ma.tum.de/bin/view/Lehre/Bsp10_2

bei den letzten aufgaben wirst du wohl die wurzel ziehen müssen, wenn das die aufgabenstellung verlangt. das ist hier aber nicht zu erkennen, man soll vermutlich vereinfachen.

(1+i)² = 1 + 2i + i² = 1 + 2i -1 = 2i
(1-i)² = 1 - 2i + i² = 1 - 2i -1 = -2i

((1-i)/(1+i))^4 = (1-i)²/(1+i)² * (1-i)²/(1+i)²
= (-2i)/(2i) * (-2i)/(2i) = (-2i)²/(2i)² = (4i²)/(4i²) = 1

\( (1+i)^{2n} + (1-i)^{2n} = ((1+i)^2)^n + ((1-i)^2)^n = (2i)^n + (-2i)^n = \\
2^ni^n + (-2)^ni^n = i^n(2^n+(-2)^n) =
i^n(2^n+(-1)^n(2)^n) = i^n(2^n(1+(-1)^n)) =
2^ni^n(1+(-1)^n) \\
= 0 für  \ i = 1,3,5,... \\
= 2^{n+1}i^n für \ i = 2,4,6,... \\
= -2^{n+1} für \  i = 2,6,10, ... \\
= 2^{n+1} für \ i = 4,8,12, ... \\ \)

Comments

Vielen Dank für die Antworten. :) Ich setze mich auch gleich wieder an die Aufgaben. Melde mich wieder, wenn ich die nächsten bearbeitet habe. Gruß, math . newbie

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hi gorgar ich habe   (( 1-i ) / ( 1+i)) ^4     ebenfalls = 1 raus  aber das verwirrt mich ehrlich gesagt insofern weil in der aufgaben stellung stand  wir sollen es in der form :  x+iy schreiben soll ich dafür dann  1+0i schreiben ?

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hi

z = (( 1-i ) / ( 1+i))⁴  = ... = 1

sollte meiner meinung nach völlig genügen. frag aber vorsichtshalber deinen lehrer, nicht das du wegen mir punktabzüge bekommst.

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Falls du nicht mehr fragen kannst, ist explizit '1 + 0i  oder 1' zum Schluss eindeutig. Zeigt, dass du dir das überlegt hast.