Zeigen Sie, dass (Gn,·) eine nicht-abelsche Gruppe bildet.

Question

Weiß nicht genau wie ich diese Aufgabe Lösen kann.

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ und N eine Menge mit n Elementen Nachtrag und n≥3. Wir betrachten die Menge Gn := {f : N → N | f ist bijektiv }
 mit |Gn| = n! , und die Abbildung

·: Gn x Gn → Gn, (f,g) → f ◦ g.

Zeigen Sie, dass (Gn,·) eine nicht-abelsche Gruppe bildet.

Problem/Ansatz:

muss man zeigen: neutrales element, inverse, assoziativ, nicht kommutativ.

Comments

Bitte die Darstellung kontrollieren und korrigieren.

Text erkannt:

Aufgabe: Sei \( n \in N \) und \( N \) eine Menge mit n Elementen. Wir betrachten die Menge \( |G n|=n ! \), und die Abbildung \( \because \mathrm{Gn} \times \mathrm{Gn} \rightarrow \mathrm{Gn},(\mathrm{t}, \mathrm{g}) 7 \rightarrow \mathrm{f} \circ \mathrm{g} \) Zeigen Sie, dass (Gn,:) eine nicht-abelsche Gruppe bildet.

Die 7 und das Fakultätzeichen sind wohl nicht korrekt (?)

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|Gn| = n! ,

Was ist dieses Ausrufezeichen? Bzw. willst du noch verraten, wie Gn definiert ist?

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hab es bearbeitet, ich habt das in word geschriben, deswegen die symbole sind nicht gut gestellt, ist das erstes mal die ich dieses webseite nutze sorry.

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Gilt vielleicht N := {1,2,3,4,....,n} ?

EDIT: Du kannst ohne Einschränkung der Allgemeinheit mit dem angegebenen N arbeiten.

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Sorry, das  war noch ein Fehler. |Gn| = n! kommt gar nicht da. Wir betrachten die Menge Gn.

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Aufgabe:


Sei n ∈ N und N eine Menge mit n Elementen. Wir betrachten die Menge Gn := {f : N → N | f ist bijektiv }, und die Abbildung

·: Gn x Gn → Gn, (f,g) → f ◦ g.

Zeigen Sie, dass (Gn,·) eine nicht-abelsche Gruppe bildet.



Problem/Ansatz:

muss man zeigen: neutrales element, inverse, assoziativ, nicht kommutativ.

So soll es wohl aussehen. Habe das oben nun auf diese Form gebracht. 

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N ist doppelt belegt. Besser n ∈ ℕ.

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Danke. Wird nun zu:

Sei n ∈ ℕ und N eine Menge mit n Elementen.

Answer 1

neutrales element, 

identische Abbildung

inverse,

existiert immer bei bijektiven Abbildungen

assoziativ,

nachrechnen

 nicht kommutativ.

Ein Gegenbeispiel genügt.

Comments

Vor allem ist die Aussage falsch. Für n = 1 und n = 2 ist \(G_n\) eine abelsche Gruppe, sie ist in diesem Fall jeweils eine der Gruppen \(0\) bzw. \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\).

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Gute Ergänzung!

Sei n ∈ ℕ und N eine Menge mit n Elementen. Wir betrachten die Menge Gn := {f : N → N | f ist bijektiv }
mit |Gn| = n! , und die Abbildung
·: Gn x Gn → Gn, (f,g) → f ◦ g.

Zeigen Sie, dass (Gn,·) eine nicht-abelsche Gruppe bildet.

Dann muss die Voraussetzung nochmals abgeändert werden oder die Behauptung

·: Gn x Gn → Gn, (f,g) → f ◦ g.

Zeigen Sie, dass (Gn,·) für n> 2 eine nicht-abelsche Gruppe bildet.

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Hey Lu,

an sich weiß ich , wie man die assoziativität nachweist, bloß bei dieser Aufgabe stehe ich damit irgendwie völlig auf dem Schlauch :/

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Aber du weisst auch, dass die Behauptung "nicht-abelsch" für n = 2 falsch ist (?)

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Frage ruhig bei der unteren Antwort nochmals nach.

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Ja, mir ist klar, dass es sich erst ab ≥3 um eine nichtabelsche Gruppe handelt.

Bloß ist mir einfach etwas unklar, wie ich das ganze nachweise

Answer 2

Die Aussage gilt für \(n\geq 3\), siehe mein Kommentar unter Lu's Antwort. Ich werde dir ein bisschen bei der Kommutativität helfen, den Rest solltest du alleine hinbekommen.

Sei \(n\geq 3\) und schreibe \(N = \{m_1,\ldots,m_n\}\). Definiere die zwei Bijektionen \(a,b\in G_n\) durch:

\(a(m) = \begin{cases}m_2,&m=m_1\\m_1,&m=m_2\\m,&\text{sonst}\end{cases}\)

\(b(m) = \begin{cases}m_3,&m=m_2\\m_2,&m=m_3\\m,&\text{sonst}\end{cases}\)

Also \(a\) vertauscht \(m_1\) mit \(m_2\) und \(b\) vertauscht \(m_2\) mit \(m_3\) und lässt alles andere unverändert [eine Bijektion, die nur zwei Elemente vertauscht und sonst nichts verändert, nennt sich eine Transposition]. Was macht \(ab\)? Was macht \(ba\)? Wo unterscheiden sie sich?

Comments

hey hairbert,

leider kann ich deinen Lösungsansatz nicht ganz nachvollziehen

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eine Bijektion, die nur zwei Elemente vertauscht und sonst nichts verändert,

Das kannst du dir vorstellen? Mache es konkret mit der Menge N = {1,2,3} .

Dann hast du die folgenden Zuordnungen bei a:

1 -> 2

2 -> 1

3 -> 3

und bei b hast du

1->1

2->3

3->2.

Nun kannst du diese beiden Zuordnungen nacheinander ausführen. Je nach Reihenfolge kommt etwas anderes raus. Zeichne das ruhig mal mit Pfeilchen.

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Das habe ich soweit verstanden, nur ist mir unklar, wie mich das weiter bringt

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Nun kannst du diese beiden Zuordnungen nacheinander ausführen. Je nach Reihenfolge kommt etwas anderes raus.

Damit ist dann "nicht abelsch" bewiesen. Du musst aber diese Zusammensetzungen schon noch explizit hinschreiben.

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Alles klar, vielen dank!

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Hey sasourii,

wo steckst du denn fest? Ich ging in meiner Antwort davon aus, dass du es ohne Schwierigkeiten schaffst nachzuweisen, dass es sich um eine Gruppe handelt. Hast du das hinbekommen? Falls nicht, gebe ich dir die Interpretation der Gruppenaxiome in diesem Fall, du musst dann nur noch begründen, warum die hier gegeben sind.

Wohldefiniertheit der Verknüpfung bedeutet hier: Die Verknüpfung \(f\circ g\) zweier Bijektionen \(f,g:N\to N\) ist wieder eine Bijektion \(N\to N\).

Assoziativität der Verknüpfung ist hier gleichbedeutend mit der Assoziativität der Hintereinanderausführung von Funktionen.

Neutrales Element: Es existiert eine Bijektion \(i:N\to N\) [welche wohl? Die einfachste, die man sich ausdenken kann], sodass für alle Bijektionen \(f:N\to N\) gilt \(f\circ i = i\circ f = f\).

Inverses Element: Für jede Bijektion \(f:N\to N\) existiert ein beidseitiges bijektives Inverses \(f^{-1}:N\to N\) sodass \(f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f = i\).

Zur Widerlegung der Kommutativität reicht ein Hütchenspiel als Anschauung: Du hast drei Hütchen, nummeriert mit 1, 2 und 3, die stehen vor dir von links nach rechts aufgereiht. Jetzt machst du folgendes:

1) Du tauschst das linke mit dem mittleren Hütchen, danach das mittlere mit dem rechten Hütchen.

2) Du fängst von vorne an, tauschst jetzt erst das mittlere mit dem rechten Hütchen, dann das linke mit dem mittleren.

In welcher Reihenfolge sind die Hütchen nach den Experimenten 1) und 2)?

Genaueres nachlesen kannst du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Symmetrische_Gruppe

Was hier in der Übungsaufgabe drankam ist einfach nur ein allgemeines Modell für die symmetrischen Gruppen.

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das neutrale Element und das Inverse habe ich jetzt soweit verstanden, danke!

Nach 1) ist die Reihenfolge 2,3,1

Nach 2) ist die Reihenfolge 3,2,1

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Richtig! Und weil du zwei Vertauschungen, die ja Teil der \(G_3\) sind, in beiden Reihenfolgen hintereinander ausgeführt hast und auf unterschiedliche Ergebnisse gekommen bist, kann \(G_3\) nicht abelsch sein. Mein Modell war dann nur ein bisschen allgemeiner, das bettet dieses Hütchenspiel in die größeren \(G_n\) ein, indem es alle anderen Hütchen in Ruhe lässt (stell dir vor, du hast auch Hütchen 4,5,6,...,n, nur mit denen machst du nie etwas).

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Jetzt macht das sinn!

leider bekomme ich die assoziativität immernoch nicht hin :/ da werde ich mich nochmal dransetzen

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Für die Assoziativität würde ich mich auch interessieren. Wie kann ich das denn beweisen ohne in ein Beispiel zu verfallen?

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Hintereinanderausführung von Funktionen ist immer assoziativ ;) Da gibt's nichts zu beweisen, es ist auch nicht wichig dass wir mit Bijektionen arbeiten, da gilt es nur diesen einen schnieken Fakt zu nennen und man ist fertig.

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Also kann ich an dieser Stelle einfach einen Verweis auf das Skript geben und die Sache ist erledigt?

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Ja. Suche diesen Satz im Skript und erwähne in der Antwort dessen Nummer.