Aufgabe:
$$\text{Es sei die Funktion } v: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C} \text{ definiert durch: }$$
$$v(t) =-\frac{\cos^2{(\frac{\pi t}{2})} - 2 \cdot \arctan{(\frac{t-3}{2})}}{4} \quad (t \in R)$$
$$\text{ Nehmen Sie zunächst die Integralumformung }$$
$$\int_{1}^{5} v(t) dt = \int_{-1}^{1} w(x) dx =: I(w)$$
durch eine Substitution $$t = \varphi{(x)}$$ mittels einer geeigneten reell-affin-linearen Funktion $$\varphi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \text{ mit }\varphi{(-1)} = 1 \text{ und } \varphi{(1)} = 5 \text{ vor und geben Sie nachstehend ihre Wahl für }$$
$$\varphi{(x)} := ? \text{ und }$$
$$w(x) := ? \text{ für } x \in \mathbb{R} \text{ an !}$$
Zerlegen Sie anschließend $$w = w_g + w_u$$ in einen geraden Anteil $$w_g$$ und einen ungeraden Anteil $$w_u$$ und geben Sie den geraden Anteil für nicht-negative $$x \in [0| \infty)$$ in möglichst einfacher Weise explizit an !
$$w_g(x) = \frac{\cos{(2 \pi x)} - 1}{4} (x \in [0|\infty)) \text{ ? Wie kommt man darauf ?}$$
und berechnen Sie abschliessend das nun noch verbleibende Integra:
$$I(w) = 2 \cdot \int_{0}^{1} w_g(x) dx = $$
Problem/Ansatz:
Also für die Substitution habe ich
$$t = \varphi{(x)} = \frac{t-3}{2}$$
und komme dann mit den eingesetzten Grenzen auf die neuen Grenzen -1 und 1
Die Frage ist jetzt, wie man wg und das somit das Integral ausrechnet.
Für den cos^2 habe ich mal als Idee das Additionstheorem
$$\frac{- 1 - \cos{(2 (\frac{\pi t}{2}))}}{2 \cdot 4 = 8}$$ Der arctan ist ja von -1 bis 1 ungerade bzw. punktsymmetrisch daher kann ich den ja vernachlässigen
Aber wie komme ich auf $$w_g = \frac{\cos{(2 \pi x)} - 1}{4}$$
