Integral mit Substitution berechnen

Question

Aufgabe:

Ich soll das folgende Integral durch Substitution berechnen;

\( \int \limits_{1}^{e^{2}} \frac{1-2 x \ln (x)}{x^{2}} d x \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß die berechnete Stammfunktion,

\( -\ln ^{2}(x)-\frac{1}{x}+C \)

,aber ich weiß nicht wie ich die Integralgrenzen miteinbeziehe, kann mir jmd. Die Rechnung mit der Substitution aufzeigen

Answer 1

\( \int \limits_{1}^{e^{2}} \frac{1-2 x \ln (x)}{x^{2}} d x \)

\(=  \int \limits_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x^2} d x - \int \limits_{1}^{e^{2}} \frac{2 x \ln (x)}{x^{2}} d x\)

\(=  \int \limits_{1}^{e^{2}} \frac{1}{x^2} d x - \int \limits_{1}^{e^{2}} \frac{ 2 \ln (x)}{x} d x\)

Beim 2. Integral kannst du aufteilen in das Produkt von 2 ln(x) und

den Faktor 1/x .

Und  1/x ist ja die Ableitung von ln(x) also ist das von der Art

        g(x)^2 * g'(x) also ist die Substitution  g(x) = ln (x) .