Aus Abbildungsvorschrift eine Potenzreihe entwickeln

Question

ich komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter und würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen würdet.

Aufgabe:

Entwickeln Sie die durch die Abbildungsvorschrift x→(e^x)/(1-x) definierte Funktion in eine Potenzreihe um x₀=0 und berechnen Sie den Konvergenzradius.

Also wie man den Konvergenzradius berechnet, sollte eigentlich kein Problem. Ich habe eher Schwierigkeiten die Abbidlungsvorschrift in eine Potenzreihe umzuwandeln bzw. weiß gar nicht wie das geht. Ich habe bereits an Taylor Reihe gedacht, aber komme da leider nicht weiter.

Ich bin über jede Hilfe dankbar.

Lg

Answer 1

Cauchy-Produkt liefert$$\frac{\mathrm e^x}{1-x}=\left(\sum_{n=0}^\infty\tfrac1{n!}x^n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty x^n\right)=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{k=0}^n\tfrac1{k!}\right)x^n.$$

Comments

Ich danke dir vielmals. Allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich hier den Konvergenzradius berechnen kann. Also mir ist neu, dass eine Potenzreihe eine Summe in sich enthält. Wäre echt super wenn du mir da ein Tipp geben könntest oder wenn es die Großzügigkeit erlaubt gerne auch die Lösung verratest. Vielen Dank.

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$$\tfrac1R=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sum_{k=0}^n\frac1{k!}}=1.$$

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Vielen Dank :)