Aussage über Elemente eines Monoids zeigen

Question

Aufgabe:

Es sei (M,*) ein Monoid und a,b∈M mit a⋆b = b⋆a. Zeigen Sie für alle m,n∈ℕ:

$$ a^m * b^n = b^n * a^m $$

Ich wollte das über Induktion über m∈ℕ zeigen, doch komme irgendwie nicht wirklich voran:

Induktionsanfang: Sei m = 0

$$ \forall n \in \mathbb{N}: a^0 * b^n = b^n = b^n * a^0 $$

Hier weiß ich nicht wie ich den ersten Schritt rechtfertigen soll, intuitiv ist er ja klar.

Induktionsschritt: Sei $$ a^m * b^n = b^n * a^m $$ für ein m∈ℕ wahr. ... Hier komme ich auch nicht weiter

Answer 1

Hier weiß ich nicht wie ich den ersten Schritt rechtfertigen soll,

vielleicht ist es einfacher, wenn du mit m=1 beginnst.

… dann gilt

a^(m+1) * b^n

assoziativ und Def. von Potenz

= a * ( a^m *b^n )

wegen der Ind. vor

= a * ( b^n * a*m )

wegen der Kommutativität

= ( b^n * a^m ) * a

assoziativ

=  b^n * ( a^m   * a )

= b^n * a^(m+1) .

Comments

Wenn die Umformung von   a * ( b^n * a^m )  nach  ( b^n * a^m ) * a  keines Induktionsbeweises bedarf, dann kannst du dir den ganzen Beweis überhaupt schenken.

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"wenn du mit m=1 beginnst"

Bei uns gehört 0 zu den natürlichen Zahlen.